Образец выполнения лабораторной работы № 6

(Приближенное решение систем уравнений)

Дана система линейных уравнений , где , , . Найти приближенное решение данной системы с точностью .

Рассмотрим пример решения следующей системы уравнений методами итераций и Зейделя

, точное решение которой .

Так как определитель системы , то система имеет единственное решение.

Приведем данную систему к виду , где , ;

решение будем искать в виде итерационной последовательности , , . Найдем канонические нормы матрицы .

, , .

Минимальной нормой является норма . Поэтому все действия будем производить по этой норме. Итерационный процесс будем продолжать до тех пор, пока не будет выполняться условие , .

А) По методу итерации получим , , .

Определим число верных знаков в приближенном значении решения. Так как , , то получим с погрешностью округления . Тогда .

Определим число верных знаков в приближенном решении . Так как , , то получим приближенное решение , с погрешностью .

Ответ: , .

Б) По методу Зейделя получим , , .

Определим число верных знаков в приближенном значении решения. Так как , , то получим с погрешностью округления . Тогда .

Определим число верных знаков в приближенном решении . Так как , , то получим приближенное решение , с погрешностью .

Ответ: , .