Тема 3. Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.

Темы спецкурсов.

Тема 1. Приближение функций.

Часть 1. Равномерное приближение.

§ 1.Постановка задачи. Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации.

§ 2. Наилучшее приближение функции многочленами.

§ 3. Многочлены Чебышева и Бернштейна.

Часть 2. Интерполирование функций.

§ 1. Интерполирование функции. Постановка задачи.

§ 2. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта.

§ 3. Интерполирование периодических функций тригонометрическими полиномами.

§ 4. Интерполирование с кратными узлами.

Часть 3. Приближение функций сплайнами.

§ 1. Постановка задачи. Интерполяционные кубические сплайны.

§ 2. Сглаживающие кубические сплайны.

§ 3. Сплайновые кривые. Кривые Безье.

§ 4. В - сплайновые и Бета - сплайновые кривые.

§ 5. Сплайновые поверхности.

Часть 4. Квадратичное приближение

§ 1. Приближение функций по методу наименьших квадратов.

§ 2. Квадратичное приближение периодических функций тригонометрическими многочленами.

§ 3. Квадратичное приближение методом Чебышева.

Тема 2. Методы минимизации функций.

Часть 1. Методы минимизации функций (МФ) одной переменной.

§ 1. Постановка задачи. Глобальные и локальные минимумы (максимумы). Унимодальные функции.

§ 2. Классический метод МФ. Метод деления отрезка пополам.

§ 3. Симметричные методы. Метод золотого сечения.

§ 4. Оптимальные методы. Метод Фибоначчи.

§ 5. Метод ломаных. Метод покрытий.

§ 6. Методы минимизации выпуклых функций. Метод касательных.

§ 7. Методы поиска глобального минимума. Метод парабол.

§ 8. Стохастический метод минимизации.

Часть 2. Методы минимизации функций многих переменных.

§ 1. Постановка задачи минимизации. Теорема Вейерштрасса.

§ 2. Классический метод.

§ 3. Градиентный метод. Методы проекции градиента и субградиента, условного градиента.

§ 4. Метод возможных направлений, сопряженных направлений.

§ 5. Методы Ньютона и Стеффенсена.

§ 6. Метод покоординатного спуска.

§ 7. Метод поиска глобального минимума.

§ 8. Метод модифицированных функций Лагранжа.

§ 9. Метод штрафных функций.

§ 10. Метод барьерных функций, нагруженных функций.

§ 11. Метод случайного поиска.

Тема 3. Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.

§ 1. Введение в дискретные методы решения задачи Коши. Вопросы реализации алгоритмов.

§ 2. Одношаговые методы типа Рунге-Кутты. Условия порядка. Способы оценки погрешностей одношаговых методов. Распространение одношаговых методов на системы ОДУ.

§ 3. Многошаговые методы и их реализация. Переменный порядок и шаг. Распространение многошаговых методов на системы ОДУ.

§ 4. Экстраполяционные методы.

§ 5. Явление жесткости и его влияние на выбор методов решения задачи Коши.

§ 6. Неявные одношаговые (типа Рунге-Кутты) и многошаговые методы. Вопросы их реализации.

§ 7. Структурный метод интегрирования систем ОДУ. Алгоритмы конструирования и реализации его расчетных схем.

§ 8. Современные численные методы интегрирования, наиболее распространенных в задачах моделирования, систем ОДУ специального вида

Список необходимой литературы дан в конце пособия.

Раздел 2. Тематика лабораторных работ

Форма отчёта:

1) Постановка задач. Краткая теория (метод решения). Геометрическая интерпретация.

2) Алгоритм решения поставленной задачи. (Блок-схема).

3) Текст программы.

4) Тестовый пример.

5) Численный расчёт по данным исходной задачи с оценкой погрешности результата. Протокол работы программы.

6) Анализ полученного результата.

Пояснения к отдельным пунктам отчета.

Постановка задачи включает краткую математическую формулировку задачи с пояснением отдельных моментов, а также необходимые графики и/или рисунки. Должны быть приведены основные моменты применяемых методов.

Алгоритм решения задачи может быть оформлен или в виде блок-схемы, или в словесной форме. Допускается описание алгоритма осмысленными частями (блоками).

Текст программы численного решения задачи должен быть написан на предлагаемом языке программирования, который может быть изменен по согласованию с преподавателем данного курса.

Под тестовым примером или тестом понимается задача (аналогичная по постановке искомой задаче) у которой известно точное решение, что позволяет сравнить численные результаты (приближенное и точное решения) и оценить допускаемую погрешность. По результатам тестирования должен быть сделан вывод.

Протокол работы программы должен включать результаты как по тестовому примеру, так и численного расчета искомой задачи. Результаты численных расчетов должны быть оформлены по всем правилам записи приближенных чисел, т.е. запись приближенного решения только с верными значащими цифрами и допускаемой погрешностью.

Анализ численных результатов должен дать ответ на вопрос, соответствуют ли полученные результаты искомому решению поставленной задачи и почему.