Хвильові параметри лінії.

У стаціонарному стані при гармонічному збудженні напруга та струм у будь якій точці лінії змінюються за законом

.

Для аналізу процесів у лінії скористаємося методом комплексних амплітуд, при цьому: , та .

А телеграфні рівняння у комплексній формі набувають вигляду:

,

.

Тут: - комплексний опір поздовжньої вітки еквівалентної схеми відрізка довгої лінії; - провідність поперечної вітки.

Знайдемо з рівняння () і підставимо у (), а з рівняння () знайдемо і підставимо у () після чого отримаємо

,

.

Отримали два лінійних диференціальних рівняння другого порядку. Рівняння однакові отже і розв’язок однаковий, різні лише сталі інтегрування. Загальний розв’язок для та наступний:

,

,

тут - коефіцієнт поширення. Оскільки і пов’язані між собою співвідношеннями () та () то сталі інтегрування та можна виразити через та :

, ,

тут - хвильовий опір лінії. Параметри та називаються хвильовими параметрами лінії або вторинними на відміну від первинних (погонних) параметрів та . Щоб зрозуміти чому саме хвильові параметри, перейдемо від комплексної амплітуди до реальної напруги у довгій лінії:

= .

Перший доданок описує поширення хвилі у напрямку , причому амплітуда цієї прямої хвилі по мірі зростання згасає (множник ). Другий доданок, відбита хвиля, описує поширення хвилі у напрямку . Фазова швидкість поширення обох хвиль

,

де - хвильове число (аналог хвильового вектора у теорії поширення хвиль).

Аналогічно можна переконатися і у існуванні двох хвиль струму.

Таким чином при інтерпретації розподілу напруги та струму вздовж довгої лінії зручно мати справу з комплексними амплітудами напруги та струму прямої хвилі та аналогічними величинами та для відбитої хвилі.. Причому відношення комплексних амплітуд напруги до струму у прямій хвилі у будь якій точці довгої лінії дорівнює хвильовому опору, тобто

.

Аналогічно -

.

Скористаємося граничними умовами.

І знаходимо сталі інтегрування

, .

Після чого –

З допомогою рівнянь () () можна знайти комплексні амплітуди струму та напруги у довільній точці лінії по відомим комплексним амплітудам напруги та струму у точці .

Якщо лінія у кінці навантажена на імпеданс то зручно користуватися іншою системою координат , початок якої знаходиться у кінці лінії, а напрямок зростання протилежний напрямку зростання координати (див. рис.). Очевидно, що між координатами старої та нової системи має місце наступний зв’язок: . Тому у новій координатній системі:

.

А якщо взяти до уваги граничні умови на навантаженні ( та ), то отримаємо співвідношення для комплексних амплітуд напруги та струму у довільній точці довгої лінії:

,

.

Якщо лінію обмежити довжиною , тобто у рівняннях () та () покласти , то отримаємо зв’язок між вхідними (на початку лінії, з індексом 1) та вихідними (у кінці лінії, з індексом 2) величинами:

.

Оскільки отримані рівняння по формі співпадають з рівняннями симетричного чотириполюсника, то лінію довжини можна замінити симетричним чотириполюсником з мірою передачі та характеристичним опором, рівним хвильовому опору лінії, . Із останніх рівнянь можна легко визначити А -параметри чотириполюсника, еквівалентного лінії.

Коефіцієнт відбиття.

Відношення комплексних амплітуд напруг відбитої хвилі до падаючої у довільній точці довгої лінії називається комплексним коефіцієнтом відбиття за напругою :

.

Тут - коефіцієнт відбиття на навантаженні, який у загальному випадку є комплексним числом.

Аналогічно вводиться коефіцієнт відбиття за струмом:

.

Очевидно, що .

Розподіл напруги та струму у довгій лінії можна записати через коефіцієнт відбиття:

або з урахуванням граничних умов на навантаженні

.