Спектральний аналіз.

Поняття про схожість двох векторів можна поширити і на - мірний випадок

,

де , а одиничні і ортогональні між собою вектори, тобто .

Аналогічно і функцію на інтервалі можна апроксімувати рядом взаємно ортогональних функцій

Якщо вибрано так що , то середнє значення від квадрату похибки буде мінімальним (тут . Тобто апроксимація буде найкращою.

В теорії функціонального аналізу показано, що якщо множина функцій взаємно ортогональна на інтервалі , тобто

,

то будь-яку функцію (сигнал) можна подати у вигляді ряду (узагальнений ряд Фур’є). Якщо то в такому випадку мають справу з орто нормованою системою базисних функцій.

Приклади ортогональних систем базисних функцій

1. Гармонічні функції

2. Поліноми Лежандра

3. Експоненціальні функції

4. Поліноми Якобі

5. Функції Беселя з відповідними ваговими коефіцієнтами

6. Ортонормована система функцій Уолша (останнім часом приділяють значну увагу у зв’язку з цифровими методами обробки дискретних сигналів).

Серед вищезгаданих систем ортогональних функцій в радіотехніці гармонічні функції посідають особливе місце по двом причинам:

1. Гармонічні сигнали інваріантні відносно перетворень які відбуваються в лінійних колах.

2. Техніка створення (генерації) таких сигналів відносно проста.