Ре­ше­ние. Так как точки M, N, K - се­ре­ди­ны сто­рон и тре­уголь­ник ABC- рав­но­сто­рон­ний, то от­рез­ки AM

Так как точки M, N, K - се­ре­ди­ны сто­рон и тре­уголь­ник ABC- рав­но­сто­рон­ний, то от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, зна­чит тре­уголь­ник MNK- рав­но­сто­рон­ний.

5. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

Так как в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и по усло­вию из­вест­но, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны, то тре­уголь­ни­ки EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что EF=MK, EM=FK. Так как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка EFKM равны, то по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма это че­ты­рех­уголь­ни­ка- па­рал­ле­ло­грамм.

6. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.