Задачи первого уровня

Вопросы к зачету

1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма.
2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма.
3. Прямоугольник. Свойства прямоугольника.
4. Прямоугольник. Признак прямоугольника.
5. Ромб. Свойства ромба.
6. Ромб. Признаки ромба.
7. Квадрат и его свойства.
8. Теорема Фалеса.
9. Теорема о средней линии треугольника.
10. Трапеция. Теорема о средней линии трапеции.
11. Равнобокая трапеция и ее свойства.
12. Признаки равнобокой трапеции.

Задачи к зачету

Задачи первого уровня

1. Биссектриса угла параллелограмма делит сторону параллелограмма на отрезки, равные а и b. Найдите стороны параллелограмма.
2. Диагонали прямоугольника равны 8 и пересекаются под углом в 60°. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
3. Найдите меньшее основание равнобокой трапеции, если высота, проведенная из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых на 5 больше другого.
4. Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2: 7. Найдите углы между диагоналями данного прямоугольника.
5. Диагонали ромба образуют с его стороной углы, один из которых на 50° меньше другого. Найдите углы ромба.
6. Углы, образованные при пересечении диагоналей прямоугольника, относятся как 2: 7. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами данного прямоугольника.
7. Сторона ромба образует с его диагоналями углы, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите углы ромба.
8. В треугольнике МРK угол М – прямой и МР = МK. На сторонах МР, РK, МK отмечены точки А, В, С соответственно так, что МАВС является квадратом, АС = а. Найдите РK.
9. Диагональ АС делит прямоугольную трапецию АВСD (углы А и В – прямые) на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее меньшее основание равно 12 см.
10. В треугольнике АВС с прямым углом В АВ = ВС. На сторонах АВ и ВС взяты точки М и Р, а на стороне АС – точки K и Н так, что четырехугольник МРНK является квадратом со стороной МР = а. Найдите АС.
11. В равнобокой трапеции с острым углом 60° биссектриса этого угла делит меньшее основание, равное 16 см, пополам. Найдите среднюю линию трапеции.
12. По одну сторону от прямой а отмечены точки С и D. Середина отрезка CD отстоит от данной прямой на 12 см. Найдите расстояние от точек С и D до данной прямой, если точка С находится втрое дальше от прямой, чем точка D.
13. В равнобокой трапеции с тупым углом 120° биссектриса этого угла делит большее основание, равное 16 см, пополам. Найдите среднюю линию трапеции.
14. Полупериметр параллелограмма равен 26 см, а сумма двух сторон – 22 см. Найдите стороны параллелограмма.
15. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен125°. Найдите углы параллелограмма.
16. В ромбе МРНK диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МK, KН, РН взяты точки А, В, С соответственно, АK = KВ = РС. Докажите, что ОА = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
17. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найдите большее основание.
18. В ромбе ABCD точка О – точка пересечения диагоналей, ОМ, ОK, ОЕ – перпендикуляры, опущенные на стороны АВ, ВС, CD соответственно. Докажите, что ОМ = ОK, и найдите сумму углов МОВ и СОЕ.
19. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°. Большая боковая сторона и большее основание равны по 20 см. Найдите меньшее основание.
20. В параллелограмме АВСD с острым углом А диагонали пересекаются в точке О. На отрезках АО и ОС взяты точки Р и K соответственно, ОР = OD, ОK = ОВ. Докажите, что четырехугольник PBKD является прямоугольником.
21. В трапеции MHPK МK – большее основание. Прямые МН и РK пересекаются в точке Е, угол МЕK равен 80°, а угол ЕНР – 40°. Найдите углы трапеции.
22. В трапеции ABCD ВС – меньшее основание. На отрезке AD взята точка Е так, что прямые ВЕ и СD параллельны и угол АВЕ равен 70°, а угол ВЕА равен 50°. Найдите углы трапеции.
23. Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 4 см и 10 см является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите периметр трапеции.
24. Разность противолежащих углов равнобокой трапеции равна 20°. Найдите углы трапеции.
25. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки ВK и KС. Найдите периметр параллелограмма, если известно, что АВ = 4 см и ВK в два раза меньше KС.
26. В параллелограмме ABCD ВK – биссектриса угла AВС, K Î АD. Найдите углы параллелограмма ABCD, если угол ВKА равен 50°.
27. В четырехугольнике МРKН углы РМK и НKМ равны и РK ║ МН. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны РK и МН в точках А и В соответственно. Докажите, что АР = НВ.
28. В четырехугольнике ABCD Ð А + Ð В = 180°, АВ ║ CD. На сторонах ВС и AD отмечены точки М и K соответственно так, что ВМ = KD. Докажите, что точки М и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.
29. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в 120°. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
30. В четырехугольнике ABCD BD – диагональ. Углы ABD и CBD равны, угол А равен углу С. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
31. В треугольнике АВС точка Е – середина стороны АВ. Ð В = 58°, Ð C = 32°, EF ^ АВ (тока F лежит на стороне ВС). Докажите, что BF = FC.
32. В параллелограмме ABCD точка О – точка пересечения диагоналей. Периметр треугольника АОВ равен 17 см, ВС = 9 см, CD = 6 см. Найдите периметр треугольника AOD.
33. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
34. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
35. Докажите, что середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата.
36. Вершинами какой фигуры являются середины сторон равнобедренной трапеции? Обоснуйте ответ.
37. Докажите, что параллелограмм, у которого углы равны, а диагонали перпендикулярны, является квадратом.
38. Докажите, что параллелограмм, у которого стороны равны и диагонали равны, является квадратом
39. В треугольнике АВС точка Е – середина стороны СВ. Ð А = Ð ЕDB (точка D лежит на стороне АВ). Докажите, что AD = DB.
40. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 6 см, а один из углов равен 45°. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
41. Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции.
42. В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.
43. Высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, образуют угол 30° и равны соответственно 6 см и 10 см. Найдите стороны параллелограмма.
44. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересеклись на стороне ВС. Как относятся длины соседних сторон параллелограмма?
45. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30⁰. Найдите диагональ, проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.
46. Дан четырехугольник, сумма диагоналей которого равна 18 см. Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон данного.
47. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
48. В равнобокой трапеции острый угол равен 60°. Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.
49. Диагональ равнобокой трапеции равна 10 см и образует угол, равный 60°, с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.
50. Стороны треугольника относятся как 7: 8: 11. Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 52 см. Найдите стороны данного треугольника.