Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Численное интегрирование

Численное интегрирование

При вычислении определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница

(6.1)

необходимо для подынтегральной функции f (x) найти первообразную F (x). Если интеграл не выражается через элементарные функции (тогда соответствующий неопределенный интеграл определяет новую функцию), то для его вычисления используют численные методы. Примеры таких интегралов приведены ниже:

Численные методы интегрирования применяют тогда, когда аналитические методы интегрирования не применимы или слишком сложны.

Если необходимо вычислить определенный интеграл от таблично заданной функции, то применение численного интегрирования является неизбежным.

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

. (6.2)

При выводе квадратурных формул для приближенного вычисления определенного интеграла вспомним его геометрический смысл — интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, осью Ох и отрезками прямых х = а и х = b.

Разобьем отрезок [ a, b ] на n частей точками x_i

(6.3)

Обозначим через y_i значения функции в точках x_i. Заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа (4.17):

. (6.4)

Тогда получим приближенную формулу для вычисления интеграла:

, (6.5)

где A_i — числовые коэффициенты, которые не зависят от подынтегральной функции, и их значения можно определить для заданного n.

Выведем формулы для вычисления коэффициентов A_i. Введем обозначения

.

Тогда многочлен Лагранжа можно записать в виде

.

Заменяя под знаком интеграла в (6.5) функцию y (x) многочленом L_n (x), получим

.

Отсюда следуют формулы для вычисления коэффициентов A_i:

Коэффициенты H_i называются коэффициентами Котеса и вычисляются по формулам:

(6.6)

В следующих пунктах рассмотрим простейшие квадратурные формулы, являющиеся частными случаями этих соотношений и получающиеся таким способом.