Опуклість (вигнутість) графіка функції. Точки перегину.

Визначення. Крива обернена опуклістю вгору на деякому інтервалі, якщо всі її точки лежать нижче за будь-яку її дотичну на цьому інтервалі. Крива, обернена опуклістю вгору, називається опуклою, а крива, обернена опуклістю вниз, – називається вигнутою (див. рис 5.3).

Рис. 5.3. Ілюстрація визначення опуклості і вигнутості

графіка функції (при x < а крива опукла, при x > а крива вигнута

при x = а - точка перегину).

Теорема. Якщо в усіх точках інтервалу (а, b) друга похідна функції f(x) ()від‘ємна, то крива у = f(x) опукла. Якщо ж в будь-якій точці інтервалу (а, b), то крива у = f(x) вигнута.

Доведення. Хай х₀ Î (a, b). Проведемо дотичну до кривої в цій точці.

Рівняння кривої: у = f(x); рівняння дотичної :

Слід довести, що .

По теоремі Лагранжа для f(x) – f(x₀):

, x0 < з < x.

По теоремі Лагранжа для

Хай х > x₀ тоді x₀ < c₁ < c < x. Оскільки x – x₀ > 0 і c – x₀ > 0 і крім того по умові , отже .

Хай x < x₀ тоді x < c < c₁ < x₀ і x – x₀ < 0, c – x₀ < 0, оскільки за умовою то .

Аналогічно доводиться, що якщо f¢ ¢ (x) > 0 на інтервалі (а, b), то крива у = f(x) вигнута на інтервалі (а, b). Теорема доведена.

Визначення. Точка, що відділяє опуклу частину кривої від вигнутої, називається точкою перегину.

Очевидно, що в точці перегину дотична перетинає криву.

Теорема (достатня умова точок перегину). Хай крива визначається рівнянням у = f(x). Якщо друга похідна f¢ ¢ (a) = 0 або f¢ ¢ (a) не існує і під час переходу через точку х = а f¢ ¢ (x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = а є точкою перегину.

Доведення. 1) Хай f¢ ¢ (x) < 0 при х < a і f¢ ¢ (x) > 0 при x > a. Тоді при x < а крива опукла, а при x > а крива вигнута, тобто точка х = а – точка перегину (див. рис. 5.3).

2) Хай f¢ ¢ (x) > 0 при x < b і f¢ ¢ (x) < 0 при x < b. Тоді при x < b крива обернена опуклістю вниз, а при x > b – опуклістю уверх. Тоді x = b – точка перегину. Теорема доведена.

Приклад. Визначити точки перегину функції y = x³ + 2x² + x. Знаходимо похідні

; ; → .

Визначимо поведінку функції при і при . Результати дослідження представимо в таблиці

x
	опукла	точка перегину	вигнута