Розрахункові завдання

Диференціальне числення

Функцій однієї змінної

Теоретичні питання

1. Задачі, які приводять до поняття похідної.

2. Означення похідної. Механічний та геометричний зміст

похідної.

3. Правила диференціювання.

4. Похідна степеневої, показникової, тригонометричних, та

логарифмічної функцій.

5. Похідна складеної функції та оберненої функцій. Похідні

Обернених тригонометричних функцій.

6. Гіперболічні функції та їхні похідні.

7. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично.

8. Логарифмічне диференціювання. Похідна показниково-

степеневої функції.

9. Диференційованість функції. Диференціал функції та його

геометричний і механічний зміст. Властивості

диференціала, інваріантність форми диференціала.

Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

10. Похідні вищих порядків, формула Лейбніца.

11. Похідні вищих порядків параметрично заданої функції.

12. Диференціали вищих порядків.

13. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші.

14. Правило Лопіталя.

15. Формула Тейлора. Розклад за формулою Тейлора функцій

.

16. Дослідження монотонності функції за допомогою

похідних. Локальний екстремум функції, необхідна та

достатні умови. Найбільше і найменше значення функції

на замкненому відрізку.

17. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.

18. Асимптоти графіка функції.

19. Загальна схема дослідження функції та побудови її

графіка.

Розрахункові завдання

Задача 1. Знайти похідні функцій.

1.1. а) б)

в) г)

1.2. а) б)

в) г)

1.3. а) б)

в) г)

1.4. а)

б)

в) г)

1.5. а)

б) в)

г)

1.6. а) б)

в) г)

1.7. а) б)

в) г)

1.8. а) б)

в) г)

1.9. а) б)

в) г)

1.10. а) б)

в) г)

1.11. а) б)

в) г)

1.12 а) б)

в) г)

1.13. а) б)

в) г)

1.14. а) б)

в) г)

1.15. а) б)

в) г)

1.16. а) б)

в) г)

1.17. а) б)

в) г)

1.18. а) б)

в) г)

1.19. а) б)

в) г)

1.20. а) б)

в) г)

1.21. а) б)

в) г)

1.22. а) б)

в) г)

1.23. а) б)

в) г)

1.24. а) б)

в) г)

1.25. а) б)

в) г)

1.26. а)

б)

в) г)

1.27. а) б)

в) г)

1.28. а) б)

в) г)

1.29. а) б)

в) г)

1.30. а)

б)

в) г)

Задача 2. Знайти похідні та функції, заданої параметрично.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

Задача 3. Знайти для заданої функції .

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. . 3.8. .

3.9. . 3.10. .

3.11. . 3.12. .

3.13. . 3.14. .

3.15. .

3.16. . 3.17. .

3.18. . 3.19. .

3.20. . 3.21. .

3.22. . 3.23. .

3.24. . 3.25. .

3.26. . 3.27. .

3.28. . 3.29. .

3.30. .

Задача 4. Виходячи із значення функції в точці і використовуючи диференціал, знайти наближене значення функції в точці (4.1 – 4.10­).

4.1.,,.

4.2.,,.

4.3.,,.

4.4.,,.

4.5.,,.

4.6.,,.

4.7.,,.

4.8.,,.

4.9.,,.

4.10.,,.

Обчислити наближено, використовуючи диференціал

(4.11 – 4.30).

4.11.. 4.12.. 4.13..

4.14.. 4.15.. 4.16..

4.17.. 4.18.. 4.19..

4.20.. 4.21.. 4.22..

4.23.. 4.24.. 4.25..

4.26.. 4.27.. 4.28..

4.29.. 4.30..

Задача 5. Скласти рівняння дотичної і нормалі до заданої кривої в точці . Зробити рисунок.

5.1.,. 5.2.,.

5.3.,. 5.4.,.

5.5.,. 5.6.,.

5.7.,. 5.8.,.

5.9.,. 5.10.,.

5.11.,. 5.12.,.

5.13.,. 5.14.,.

5.15.,. 5.16.,.

5.17.,. 5.18.,.

5.19.,. 5.20.,.

5.21.,. 5.22.,.

5.23.,. 5.24.,.

5.25.,. 5.26.,.

5.57.,. 5.28.,.

5.29.,. 5.30.,.

Задача 6. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку.

6.1. .

6.2. .

6.3. .

6.4. .

6.5. .

6.6. .

6.7. .

6.8. .

6.9. .

6.10. .

6.11. .

6.12. .

6.13. .

6.14. .

6.15. .

6.16. .

6.17. .

6.18. .

6.19. .

6.20. .

6.21. .

6.22. .

6.23. .

6.24. .

6.25. .

6.26. .

6.27. .

6.28. .

6.29. .

6.30. .

Задача 7. Знайти границі за правилом Лопіталя.

7.1. а) ; б) ; в) .

7.2. а) ; б) ; в) .

7.3. а) ; б) ; в) .

7.4. а) ; б) ;

в) .

7.5. а) ; б) ; в) .

7.6. а) ; б) ; в) .

7.7. а) ; б) ; в) .

7.8. а) ; б) ; в) .

7.9. а) ; б) ;

в) .

7.10. а) ; б) ; в) .

7.11. а) ; б) ; в) .

7.12. а) ; б) ;

в) .

7.13. а) ; б) ;

в) .

7.14. а) ; б) ;

в) .

7.15. а) ; б) ;

в) .

7.16. а) ; б) ;

в) .

7.17. а) ; б) ;

в) .

7.18. а) ; б) ; в) .

7.19. а) ; б) ;

в) .

7.20. а) ; б) ;

в) .

7.21. а) ; б) ;

в) .

7.22. а) ; б) ;

в) .

7.23. а) ; б) ;

в) .

7.24. а) ; б) ;

в) .

7.25. а) ; б) ;

в) .

7.26. а) ; б) ;

в) .

7.27. а) ; б) ;

в) .

7.28. а) ; б) ;

в) .

7.29. а) ; б) ;

в) .

7.30. а) ;

б) ; в) .

Задача 8. Дослідити функцію та побудувати її графік.

8.1. а) ; б) .

8.2. а) ; б)

8.3. а) ; б)

8.4. а) ; б)

8.5. а) ; б)

8.6. а) ; б)

8.7. а) ; б)

8.8. а) ; б)

8.9. а) ; б)

8.10. а) ; б)

8.11. а) ; б)

8.12. а) ; б)

8.13. а) ; б)

8.14. а) ; б)

8.15. а) ; б)

8.16. а) ; б)

8.17. а) ; б)

8.18. а) ; б)

8.19. а) ; б)

8.20. а) ; б)

8.21. а) ; б)

8.22. а) ; б)

8.23. а) ; б)

8.24. а) ; б)

8.25. а) ; б)

8.26. а) ; б)

8.27. а) ; б)

8.28. а) ; б)

8.29. а) ; б)

8.30. а) ; б)