II. Плоскость в пространстве

Задача 1. Дан тетраэдр с вершинами .

Найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Искомая высота равна расстоянию от точки до плоскости . Составим уравнение этой плоскости:

Раскрывая определитель, получим уравнение

По формуле находим расстояние от точки до плоскости

■

Задача 2. Составить уравнение плоскостей, делящих пополам двухгранные углы между пересекающимися плоскостями

Решение. Искомые плоскости – это геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных плоскостей. Возьмем текущую точку искомой плоскости, тогда

Найдём

Так как , то

или

или ■

Задача 3. Найтиуравнение плоскости a, проходящей через начало координат, которая перпендикулярна плоскости и образует с плоскостью угол

Решение. Уравнение искомой плоскости

Так как , то , следовательно

1) Предположим, что , то уравнение плоскости a можно записать в виде:

, где

Т.к. , то (1)

По условию плоскость a образует с плоскостью угол , т.е. . Т.к. , то

.

Получаем . (2)

Учитывая уравнения (1) и (2), имеем:

Подставляя полученные коэффициенты в уравнение плоскости, находим:

,

2) Предположим , тогда . Так как , то .

– не верно.

Таким образом, при , плоскости a, удовлетворяющей условиям задачи, не существует. ■

Задача 4. Написать уравнение плоскости, проведенной через точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям ,

Решение. Вектор нормаль плоскости . Вектор нормаль плоскости

Так как искомая плоскость a перпендикулярна двум данным плоскостям, то и . Нормаль к плоскости a может быть определена:

.

Используя уравнение плоскости через точку и нормаль, получаем:

■

Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, заданную пересечением плоскостей

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую: .

Выделим среди них плоскость, проходящую через точку . Для этого подставим координаты точки в уравнение пучка:

.

Отсюда , то есть .

Из уравнения пучка при находим уравнение искомой плоскости

. ■