Элементы теории. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа:

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа:

(1)

Уравнение (1) называется уравнением Пуассона.

Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике:

и принимающее на границе Г заданные значения

(2)

Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (первой краевой задачей).

Для численного решения задачи (1)-(2) введем в сетку:

,

где

и обозначим через - сеточную функцию, заданную на ; h_х и h_у – шаги сетки по координатам х и у.

Аппроксимируем каждую из вторых производных на трехточечном шаблоне:

Обозначим . (3)

Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением:

(4)

К этому уравнению надо присоединить краевые условия:

(5)

Граница сетки состоит из всех узлов (0, n), (m, 0), (M, n), (m, N), кроме вершин прямоугольника (0, 0), (M, 0), (M, N), (0, N), которые не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне:

.

Схему (4) часто называют схемой " крест". Можно показать, что схема " крест" имеет второй порядок аппроксимации.

Выразим из разностного уравнения (4) значение сеточной функции y_mn:

(6)

Будем рассматривать простейший вариант задачи Дирихле, когда на каждой из четырех границ прямоугольника заданы постоянные значения искомой функции:

(7)ой функции.кции. простейший вариант задачи Дирихле, когда на каждой из четырех границ прямоугольника заданы постоянные значен

Разностная система уравнений (6)-(7) замкнута относительно
(M-1)´ (N-1) неизвестных значений сеточной функции y_mn.

Система уравнений (6)-(7) приведена для применения метода простой итерации. Считая, что на k -ой итерации значения сеточной функции известны, ее значения на итерации k + 1 вычисляем по формуле (6), привлекая в необходимых случаях известные граничные условия (7):

(8)

Для реализации алгоритма (8) необходимо получить начальные значения для неизвестных. Получим их с помощью линейной интерполяции по граничным значениям: сначала по переменной х (строкам), потом по переменной у (столбцам).

Линейную интерполяцию по строкам проведем по формуле:

(9)

Линейную интерполяцию по столбцам проведем по формуле:

(10)

За начальные значения принимаем полусумму полученных величин:

(11)

В принципе, алгоритм обладает хорошей устойчивостью и в качестве начального приближения можно взять, например, нулевые значения параметров. Предложенный способ начального приближения адаптирован к граничным условиям и поэтому может обеспечить более быструю сходимость к решению.

Максимальную погрешность текущего приближения оценим по формуле:

(12)

Рассматриваемая задача имеет очевидную физическую интерпретацию. Рассчитывается температурное поле в тонкой плоской теплопроводящей пластине (прямоугольнике), теплоизолированной с плоских торцов, тонкие торцы которой имеют заданную температуру, а внутри пластины распределены тепловые источники (или стоки) с заданной интенсивностью f.