Последовательность. Предел последовательности.

Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).

Задают числовую последовательность с помощью общего члена x_n.

{x_n} - числовая последовательность с общим членом x_n.

Например: {x_n}={2; 3; 4; 5; …}, x_n=n+1;

{a_n}={1; 1/2; 1/3; …}, a_n=1/n;

{b_n}={-1; 1; -1; 1, …}, b_n=(-1)ⁿ.

1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности {x_n}, при n стремящемся к бесконечности (n®¥), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |x_n–a|< e.

Û " e> 0 $ N(): " n> N, выполняется |x_n–a|< e.

(a-e; a+e) ‒ e-окрестность точки a.

2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {x_n} при n®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в e- окрестности точки a.

Пример: Покажем по определению, что пределом числовой последовательности {x_n} с общим членом x_n= , является число a=0, то есть .

Возьмем сколь угодно малое положительное e. Попробуем найти такой номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство

| – 0|< e. " e> 0 $ N: " n> N выполняется | - 0|< e. Снимаем модуль –0< e. Если перевернуть обе части неравенства, то перевернем знак: n> . В качестве N берется целая часть : N=[ ].

3) , если " A> 0 $N: " n> N выполняется x_n> A.

, если " A< 0 $N: " n> N выполняется x_n< A.

, если " A> 0 $N: " n> N выполняется |x_n| > A.