Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Обчислення площ поверхонь тіл обертання.
Нехай графік неперервної та неперервно диференційовної функції обертається навколо відрізка осі . Тоді площа поверхні утвореного таким чином тіла знаходиться за формулою: . (17.1) Якщо криву задано в параметричній формі , де – неперервно диференційовні на відрізку функції, причому , то . (17.2) Якщо криву задано рівнянням у полярній системі координат , , то площа поверхні тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої графіком функції та променями , навколо полярної осі, дорівнює: . (17.3) Приклади. 1. Знайти площу поверхні параболоїда, утвореного обертанням навколо осі дуги параболи (рис. 21). Рис. 21.
Маємо: , і згідно з формулою (17.1): . 2. Знайти площу поверхні еліпса з півосями і (). Запишемо рівняння еліпса в параметричній формі: , . Введемо до розгляду ексцентриситет еліпса: . Шукану площу можна отримати як подвоєну площу поверхні тіла, утвореного обертанням чверті еліпса, розташованої у 1-му квадранті, навколо осі . Отже згідно з формулою (17.2) маємо: . Зокрема, з цієї формули при () отримується формула площі поверхні сфери радіуса : . 3. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням лемніскати Бернуллі навколо полярної осі. Шукану площу знайдемо як подвоєну площу поверхні тіла, утвореного обертанням чверті лемніскати, розташованої у 1-му квадранті, тобто . Згідно з формулою (17.3) маємо: .
|