Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Невласні інтеграли II роду.
Розглянемо тепер функцію , яка визначена на півінтервалі , і нехай виконана умова: (9.1) Точку будемо називати особливою точкою функції . У цій точці графік функції має вертикальну асимптоту (рис. 6).
Рис. 6. Нехай функція інтегровна на будь якому проміжку , де . Означення. Невласним інтегралом II роду від функції називається границя: . (9.2) Якщо границя (9.2) існує і скінченна, то інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним. Якщо особливою точкою функції є точка , то: . при умові, що функція інтегровна на проміжку , де також . Нарешті, якщо особливою точкою є деяка точка всередині проміжку , то за означенням покладають: . (9.3) Якщо існують окремо скінченні границі то інтеграл у лівій частині рівності (8.8.3) називається збіжним, а якщо хоч би одна з цих границь не існує, або нескінченна – розбіжним. Якщо особливими являються точки і , то за означенням:
, де – довільна точка інтервалу . Інтеграл у лівій частині рівності буде збіжним тоді і тільки тоді, коли збіжні обидва інтеграли у правій частині рівності. З геометричної точки зору інтеграл II роду (9.2) також, як і невласний інтеграл I роду, виражає площу нескінченної фігури (рис. 7).
Рис. 7. Але якщо у випадку інтеграла I роду нескінченність, так кажучи, відносно осі (рис. 5), то тут – відносно осі . Фактично це така ж сама нескінченна криволінійна трапеція, тільки повернута на кут 90 градусів. А це свідчить про те, що між невласними інтегралами I та II роду існує певний зв’язок. Дійсно, нехай, наприклад, особливою точкою функції є точка . Тоді . У останньому інтегралі позначимо: . Якщо , то очевидно , і ми отримуємо: . Таким чином звели невласний інтеграл II роду до невласного інтегралу I роду. Приклади. Дослідити на збіжність і у випадку збіжності обчислити інтеграли. 1) . У даному прикладі особливою є точка . Маємо: . Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює . 2) . Особливою є точка , оскільки . Маємо: Отже інтеграл розбіжний. 3) Встановити, для яких значень параметра інтеграл збігається, а дл яких розбігається:
. Якщо , то інтеграл не є невласним, оскільки підінтегральна функція буде обмеженою на відрізку . Отже залишилось дослідити випадок . Тоді особливою точкою буде точка . Нехай спочатку . Маємо: , отже інтеграл розбіжний. Нехай тепер . Тоді: Отже інтеграл збігається, якщо , і розбігається, якщо . Повернемось до прикладу, який ми розглянули в п. 6, а саме до інтегралу . Ми встановили, що безпосереднє використання формули Ньютона – Лейбніца приводить до абсурдного результату – інтеграл дорівнює від’ємному числу, хоча зобов’язаний бути додатним. Тепер ми можемо сказати, що цей інтеграл невласний – особливою є точка , яка належить інтервалу . Розіб’ємо цей інтеграл на два інтеграли , де , . Оскільки, як було встановлено в прикладі 3), інтеграл розбіжний, то розбіжним буде й інтеграл . Таким чином про його обчислення взагалі не може йти мова.
|