Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Невласні інтеграли I роду.
Поняття визначеного інтеграла Рімана, як ми бачили, має зміст для скінченного проміжку і для обмеженої на цьому проміжку функції. Якщо хоч би одна з цих умов не виконана, то інтеграла у власному розумінні не існує. Тому виникає необхідність поширити поняття інтеграла на випадки нескінченного проміжку та необмеженої функції. Відповідно виникають інші поняття – так званих невласних інтегралів I роду (у випадку нескінченного проміжку) та II роду (у випадку необмеженої на проміжку функції). Ми почнемо з поняття невласного інтеграла I роду. Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь якому відрізку , де . Означення. Невласним інтегралом I роду від функції на проміжку називається границя . (8.1)
Якщо ця границя існує та скінченна, інтеграл (8.1) називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним. Таким чином невласний інтеграл I роду не є границею інтегральних сум, а є границею визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею. З геометричної точки зору він виражає площу необмеженої області (рис. 5).
Рис. 5. Аналогічно означається невласний інтеграл I роду на проміжку : (8.2) А також можливі невласні інтеграли з обома нескінченними межами: , (8.3) де – довільне число. Інтеграл у лівій частині формули (8.3) збігається тоді і тільки тоді, коли незалежно один від одного збігаються обидва інтеграли у правій частині цієї формули. Приклади. 1. Дослідити на збіжність та у випадку збіжності обчислити інтеграл? . Маємо: . Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює . 2. Дослідити на збіжність інтеграл . Маємо: . Відомо, що функція не має границі при . Отже даний інтеграл розбіжний. 3. Дослідити на збіжність інтеграл . Маємо: . Отже даний інтеграл розбіжний (границя існує, але вона нескінченна). 4. . Даний інтеграл збіжний, і його значення дорівнює 1. 5. Визначимо, для яких значень параметра збігається інтеграл: . У випадку маємо: , тобто інтеграл розбіжний. Якщо , то , отже інтеграл збіжний. Якщо , то , і інтеграл розбіжний. Таким чином є збіжним, коли , і розбіжним, коли .
|