Означення та умови існування визначеного інтеграла.

Оскільки ми побачили, що дві різні задачі приводять до однієї математичної моделі, ми тепер не будемо прив’язуватись до конкретної задачі з навколишньої дійсності, а розглянемо проблему в абстрактному сенсі. Отже нехай ми маємо деяку функцію , яка визначена на відрізку . Розіб’ємо цей відрізок на частин довільно обраними точками ділення:

.

На кожному з частинних відрізків довільним чином оберемо точку і побудуємо суму:

, (2.1) де – довжина відрізка . Сума (2.1) називається інтегральною сумою функції , яка відповідає даному розбиттю відрізка на частинні та даному вибору проміжних точок .

Легко помітити, що з геометричної точки зору інтегральна сума у випадку, коли , дорівнює площі ступінчатої фігури (рис. 3).

Позначимо і назвемо цю величину рангом розбиття. Це буде означати, що жоден з частинних відрізків за довжиною не перевищує величини .

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (2.1) при , яка не залежить від засобу розбиття відрізка на частинні і не залежить від засобу обрання проміжних точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом:

.

Тобто:

. (2.2)

Наведене означення інтеграла належить Бернгарду Ріману (1826–1866), він же сформулював умови його існування. Тому таким чином введений інтеграл називається інтегралом Рімана.

Якщо границя (2.2) існує, то функція називається інтегровною на відрізку . Числа і називаються відповідно нижньою та верхнею межею інтегрування. Функція називається підінтегральною функцією, а вираз називається підінтегральним виразом. Змінна називається змінною інтегрування, а проміжок – проміжком інтегрування.

Повертаючись до розглянутих у п. 1 задач, тепер можна сказати, що

1) площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими

і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції на відрізку :

.

У цьому полягає геометричний зміст інтеграла.

2) робота змінної сили , що діє вздовж відрізка , дорівнює

визначеному інтегралу від сили:

.

У цьому полягає фізичний зміст інтеграла.

Виникає питання, які умови повинна задовольняти інтегровна на відрізку функція ? Відповідь на це питання дають наступні теореми.

Теорема 1 (необхідна умова інтегровності). Якщо функція інтегровна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Припустимо протилежне, тобто, що функція необмежена на відрізку . Тоді для будь якого розбиття відрізка на частинні функція буде необмеженою хоча б на одному з них. Без обмеження загальності вважатимемо, що функція необмежена на відрізку . Обравши на решті відрізків точки довільним чином, позначимо:

.

Візьмемо тепер довільне і оберемо точку на відрізку так, щоб було виконано:

,

що завжди можна зробити внаслідок необмеженості функції на відрізку . Тоді

.

Складемо інтегральну суму:

.

Матимемо:

,

тобто інтегральну суму за рахунок вибору точки можна за абсолютною величиною зробити більше, ніж будь яке наперед задане число. Тому у інтегральної суми не існує скінченної границі при , а тоді функція не є інтегровною на відрізку всупереч умові теореми. Теорему доведено.

Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з обмеженості функції на відрізку не випливає її інтегровність на цьому відрізку. Класичним прикладом такої функції є так звана функція Діріхле^[1].

Ця функція на відрізку обмежена, оскільки . Доведемо, що вона не інтегровна на відрізку . Розіб’ємо відрізок довільним чином на частинні відрізки і складемо інтегральну суму

.

Якщо обрати точки раціональними, то і тоді

, .

Якщо обрати точки ірраціональними, то і тоді

, .

Таким чином границя інтегральної суми залежить від вибору точок , а це означає, що функція не є інтегровною на .

Отже обмеженість функції на відрізку є необхідною умовою інтегровності, але не є достатньою. Наступна теорема, яку ми наводимо без доведення, дає достатню умову інтегровності.

Теорема 2 (достатня умова інтегровності). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.

Обернене твердження до цієї теореми також несправедливе – інтегровними можуть бути і деякі розривні функції. Тобто теорема 2 тільки достатня умова інтегровності, але не необхідна.

Разом з цим існує критерій (тобто необхідна і достатня умова) інтегровності функції на відрізку. Для цього введемо наступні поняття. Розіб’ємо відрізок на частинні довільно обраними точками ділення:

.

Позначимо: , . Складемо суми:

, .

Ці суми називаються відповідно нижньою та верхньою сумами Дарбу ^[2]. Зокрема, якщо функція неперервна на відрізку (отже, й на кожному з частинних відрізків), суми Дарбу є найменшою та найбільшою з інтегральних сум, що відповідають даному розбиттю. Справді, у цьому випадку функція досягає на кожному з частинних відрізків свого найбільшого та найменшого значень, отже точку на відрізку можна обрати так, щоб, за бажанням, було , або . У загальному випадку:

.

Домножаючи всі частини цієї нерівності на та, підсумовуючи за індексом , матимемо:

,

де – інтегральна сума (2.1). При фіксованому розбитті суми та будуть сталими числами, що не залежать від точок , в той час, як сума від цих точок залежить. Але за рахунок обрання точок значення можна зробити як завгодно близьким як до , так й до , отже суму можна зробити як завгодно близькою як до , так й до . А тоді для даного розбиття суми та є точними нижньою та верхньою межами для інтегральних сум.

Суми Дарбу мають наступні властивості:

Властивість 1. Якщо до тих точок ділення, що є, додати нові точки, то нижня сума Дарбу може лише збільшитися, а нижня – лише зменшитися.

Доведення. Можна обмежитися додаванням лише однієї точки ділення . Нехай ця точка потрапить між точками та , тобто . Нехай – нова верхня сума Дарбу, яка отримується внаслідок такого додавання. Вона буде відрізнятися від суми тим, що в сумі проміжку відповідав доданок , а в сумі цьому проміжку відповідає сума двох доданків:

,

де , – точні верхні межі функції у проміжках та . Оскільки ці проміжки є частинами проміжку , то , , отже

, .

Отже

,

звідки випливає, що . Аналогічно доводиться і нерівність для нижньої суми Дарбу.

Властивість 2. Кожна нижня сума Дарбу не більше кожної верхньої суми, навіть якщо ця верхня сума відповідає іншому розбиттю.

Доведення. Розіб’ємо відрізок довільним чином на частинні відрізки і складемо для цього розбиття суми Дарбу та . Розглянемо тепер інше розбиття відрізку і для нього також складемо відповідні суми Дарбу та .

Покажемо, що . Об’єднаємо обидва розбиття, тоді отримаємо третє розбиття, якому відповідатимуть суми та . На підставі Властивості 1 маємо: та . Але оскільки , то , що й треба було довести.

З доведеного випливає, що вся множина нижніх сум Дарбу обмежена зверху, наприклад, будь якою верхньою сумою. Тому множина має точну верхню межу

,

і, крім того, для будь якої верхньої суми . Тоді множина верхніх сум обмежена знизу, отже існує

,

причому . Таким чином, для будь якої нижньої та для будь якої верхньої суми Дарбу маємо:

. (2.3)

Числа та називають відповідно нижнім та верхнім інтегралом Дарбу.

Теорема 3. (необхідна і достатня умова інтегровності функції). Для інтегровності функції на відрізку необхідно і достатньо, щоб

. (2.4)

Доведення. Необхідність. Нехай функція інтегровна на , тобто існує

,

де – інтегральна сума (2.1). Ц означає, що для будь якого знайдеться таке , що, як тільки , то буде виконано:

для будь якого вибору точок . Або:

.

Але суми Дарбу та є точними нижньою та верхньою межами для , тому:

,

отже

,

звідки й випливає рівність (2.4).

Достатність. Нехай виконано умову (2.4). Тоді з (2.3) випливає, що , і якщо позначити , то

.

Нехай інтегральна сума відповідає тому ж розбиттю, що й суми та . Тоді

.

Згідно з (2.4) для будь якого існує таке , що, як тільки , то виконується . Але тоді і , оскільки та знаходяться між та . А це означає, що

,

тобто функція інтегровна на .

Теорему доведено.