О численных решениях диффееренциальных уравнений

Пусть необходимо найти решение уравнения

(1)

с начальным условием . Такая задача называется задачей Коши.

Разложим искомую функцию в ряд вблизи точки и ограничимся первыми двумя членами разложения

.

Учтя уравнение (1) и обозначив , получаем

Эту формулу можно применять многократно, находя значения функции во все новых и новых точках.

(2)

Такой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Эйлера.

Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение (интегральную кривую) отрезком касательной, проведенной к графику решения в начале интервала. Точность метода невелика и имеет порядок h. Говорят, что метод Эйлера – метод первого порядка, то есть его точность растет линейно с уменьшением шага h.

Существуют различные модификации метода Эйлера, позволяющие увеличить его точность. Все они основаны на том, что производную, вычисленную в начале интервала, заменяют на среднее значение производной на данном интервале. Среднее значение производной можно получить (конечно же только приближенно) различными способами. Можно, например, оценить значение производной в середине интервала и использовать его для аппроксимации решения на всем интервале

Можно также оценить среднее значение производной на интервале

.

Такие модификации метода Эйлера имеет уже точность второго порядка.

Оценку значения производной можно улучшить, увеличивая число вспомогательных шагов. На практике наиболее распространенным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод Рунге-Кутты четвертого порядка. Для оценки значения производной в этом методе используется четыре вспомогательных шага. Формулы метода Рунге-Кутты следующие

,

,

,

,

,

.

Перечисленные методы можно применять и для решения систем дифференциальных уравнений. Поскольку многие дифференциальные уравнения высших порядков могут быть сведены заменой переменных к системе дифференциальных уравнений первого порядка, рассмотренные методы могут быть использованы и для решения дифференциальных уравнений порядка выше первого.

ПРИМЕР