Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Інтегрування раціональних функцій.
Нагадаємо, що раціональною функцією називається функція вигляду: , де – поліном степеня , а – поліном степеня . Інтеграли від раціональних функцій завжди виражаються через елементарні функції. У деяких випадках до таких інтегралів можна звести інтеграли від інших класів функцій (ірраціональних, тригонометричних). Тому вміння інтегрувати раціональні функції вельми необхідно. Виконання цієї задачі ґрунтується на наступному: Розглянемо спочатку випадок , тобто степінь чисельника нижче степеня знаменника. 1. Знаменник розкладається на множники, кожен з яких відносить- ся до одного з наступних чотирьох типів:
I. II. , де III. , де IV. , де 2. Кожному множнику ставиться у відповідність елементарний дріб, або сума елементарних дробів. А саме: Множнику I типу ставиться у відповідність дріб . Множнику II типу ставиться у відповідність сума дробів:
. Множнику III типу ставиться у відповідність дріб . Множнику IV типу ставиться у відповідність сума дробів: . Коефіцієнти в чисельниках цих дробів поки що невизначені числа. 3. Підінтегральний дріб записується у вигляді суми всіх цих елемен- тарних дробів. Потім ця сума приводиться до спільного знаменника, який очевидно співпадає з . Після цього зрівнюються коефіцієнти при однакових степенях у отриманому чисельнику і чисельнику дроба , внаслідок чого отримується система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів в чисельниках елементарних дробів. Можна показати, що її визначник відмінний від нуля, отже вона має єдиний розв’язок. Розв’язуючи цю систему, підставляємо розв’язок в чисельники елементарних дробів і таким чином зводимо інтегрування раціональної функції до інтегрування елементарних дробів, яке розглянуто у попередньому параграфу. Нагадаємо, що тут ми припускали, що . Якщо , тобто степінь чисельника вище, або дорівнює степені знаменника, то треба виділити з дроба цілу частину, використовуючи, наприклад, алгоритм ділення стовпчиком. І тоді запишеться у вигляді суми полінома і раціональної функції, степінь чисельника якої вже буде нижче степені її знаменника. Перейдемо до розглядання прикладів. Приклади. 1. . Степінь чисельника співпадає зі степінню знаменника. Виділимо в підінтегральному дробу цілу частину: .
Тоді: .
Розкладемо на множники знаменник підінтегрального дробу: . Звідси бачимо, що всі множники відносяться до I типу. Тому підінтегральний дріб запишеться так: .
Зводячи тепер суму у правій частині до спільного знаменника, отримуємо: . Зрівняємо коефіцієнти при однакових степенях в отриманому чисельнику і чисельнику , для чого складемо наступну табличку:
Розв’язуючи цю систему, одержимо: . Зауважимо, що ці значенні можна було отримати інакше. Оскільки отриманий чисельник співпадає з чисельником для будь яких значень , то у рівності , не розкриваючи дужок, покладемо послідовно . Отримаємо ті ж самі значення для коефіцієнтів . Іноді є сенс комбінувати обидва методи знаходження коефіцієнтів. Таким чином маємо: .
Отже .
2. . Степінь чисельника нижча за степінь знаменника, і у знаменнику два множники II типу. Тому:
Зрівнюючи коефіцієнти, отримуємо:
Покладаючи і зрівнюючи чисельники, матимемо: .
Покладаючи , отримуємо: .
Звідси , і система спрощується: .
Звідси . Таким чином маємо:
.
3. .
Степінь чисельника вища за степінь знаменника. Виділимо в підінтегральному дробу цілу частину:
.
Тому .
Один множник I типу і один множник III типу. Отже
.
Зрівнюючи коефіцієнти, маємо:
Звідси: . І тоді
.
4.
Степінь чисельника нижча за степінь знаменника, у знаменнику множник I типу, а множник – IV типу. Маємо: .
Чисельник, що отримується після приведення до спільного знаменника, має вигляд:
.
Покладаючи тут , одержимо , звідки . Розкриваючи дужки і зрівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , отримаємо наступну систему відносно :
Оскільки вже відомо, що , система легко розв’язується: З 1–го рівняння: . З 2–го рівняння: . З 3–го рівняння: . З 4–го рівняння: .
Тепер маємо: . (8.1)
Обчислимо окремо:
;
(скористалися формулою (7.2)). Підставляючи ці вирази до (8.1), остаточно отримуємо:
.
|