Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Линии второго порядка.(Окружность,Гип-ла,параб-ла,эллипс,их канонич.ур.)






Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами. Для вывода уравнения эллипса введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы эллипса лежали на оси абсцисс, а начало координат делило бы расстояние между фокусами пополам. Выведем уравнение эллипса в выбранной системе координат. Обозначим фокусы эллипса через F1 и F2, М — произвольная точка эллипса.

r1 и r2 фокальные радиусы

 

- уравнение эллипса.

 

сумма расстояний от точки М до фокусов — через 2a, 2c- между фокусами. Так

как, по определению,

\F1M\ + \F2M\> \F1F2\, то 2а> 2с или а> с. (г1=|F1M|, r2 = |F2M|).

Из определения следует, что точка М{х; у) лежит на данном эллипсе в том и только в том случае, когда r1+г2 = 2a

Подставляя эти выражения в равенство, получаем

(-ур-е эллипса)

Однако для практического использования оно неудобно, поэтому уравнение эллипса приводят обычно к более простому виду. Для этого перенесем второй корень уравнения в правую часть уравнения, а затем возведем обе части равенства в квадрат.

Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии (точка пересечения осей) — центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Так как на основании равенства F) a> =b, то 2а—длина большой оси симметрии эллипса, 1Ь — малой оси. Следовательно, числа а и Ь являются длинами соответственно большой и малой полуосей эллипса.

Введем в рассмотрение новую величину

а> с, то > 0 и, следовательно, b—число положительное. Из равенства имеем

=> , разделив обе части на a2b2, окончательно получим

-каноническое ур-е

- Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Для вывода уравнения гиперболы введем на плоскости прямоугольную систему ко-

координат так, чтобы фокусы гиперболы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило бы расстояние между фокусами пополам. Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Обозначим фокусы гиперболы через F1, F2. Расстояние между фокусами обозначим через 2 с, а модуль разности расстояний от точки М до фокусов — через 2 а.

, дважды возведем в квадрат и получим

- ур-е гиперболы

Введем в рассмотрение новую величину b число положительное.

=> или -каноническое ур-е -канон.ур.для р=ст гип

- Парабола.

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать положительным направлением направление от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Выведем уравнение параболы в выбран- ной системе координат.М(х1, у1), Обозначим через r -расстояние от точки М до фокуса. через d—расстояние от точки М до директрисы, а через р—расстояние от фокуса до директрисы. Точка М будет лежать на данной параболе в том и только том случае, когда r = d. Заменяем переменные г и d их выражениями через координаты х и у. Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису, получим

ð ур-е параболы (возведем в квадрат и получим)

- каноническое ур-е

Окружность - геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R. Число R > 0 называется радиусом окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О (х0, у 0) имеет вид:

 

(х – х0 ) 2 + (у – у 0 ) 2 = R 2.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

 

х 2 + у 2 = R 2.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.