Короткі теоретичні відомості. Мета:вивчення взаємозв'язку структури сигналу і його спектра на прикладі аналізу періодичних послідовностей відео- і радіоімпульсів.

Лабораторна робота №1

ДОСЛІДЖЕННЯ СПЕКТРІВ ПЕРІОДИЧНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ ВІДЕОІМПУЛЬСІВ

Мета: вивчення взаємозв'язку структури сигналу і його спектра на прикладі аналізу періодичних послідовностей відео- і радіоімпульсів.

Короткі теоретичні відомості

Гармонічний аналіз періодичних сигналів. З курсу вищої математики відомо, що сигнал s (t) (рис. 1.1), має період T і задовольняючий на цьому періоді умовам Діріхле [ 1 ], як правило, виконуються у відношенні фізично реалізованих сигналів, може бути представлений у вигляді ряду Фур'є

, (1.1)

де

Рисунок 1.1 Періодична послідовність сигналів

Тут , і - коефіцієнти розкладу, - кругова частота гармо-нічного коливання з номером , - його лінійна частота. У радіотехнічній практиці більш зручною є наступна форма запису співвідношення (1.1):

, (1.2)

де ; , . З виразу (1.2) випливає, що розглянутий періодичний сигнал може бути представлений у вигляді суми нескінченно великої кількості гармонічних складових, частоти яких кратні значенню . Постійна складова при цьому може розглядатися як гармоніка з нульовою частотою, амплітудою і початковою фазою 0 або (в залежності від знаку ). Вираз (1.2) називається дійсною формою ряду Фур'є. Сукупність коефіцієнтів і утворює амплітудний, а - фазовий спектри періодичного сигналу . Можливий їх вигляд зображено на рис. 1.2 а, б відповідно.

Рисунок 1.2 Амплітудний (а) та фазовий (б) спектри періодичного сигналу

Використовуючи у виразі (1.2) експоненційне представлення функції за формулою Ейлера, легко одержати співвідношення

(1.3)

Включивши в область зміни цілу від’ємну піввісь і прийнявши, що для справедливі рівності і , формулу (1.3) можна записати в компактному вигляді

(1.4)

Нарешті, позначивши в співвідношенні (1.4) через і прийнявши , остаточно отримаємо

(1.5)

Представлення (1.5) називається комплексною формою ряду Фур'є і, по суті, є розкладанням речового періодичного сигналу в ряд по експоненційним функцям з уявним показником. Доцільність введення комплексної форми ряду Фур'є обумовлена зручністю виконання математичних перетворень при роботі зі спектрами сигналів. При цьому амплітудний і фазовий спектри ( і відповідно) періодичного сигналу визначені на всій дійсній осі частот. Можливий вид амплітудного спектра наведено, зокрема, на рис. 1.3.

Рисунок 1.3 Амплітудний спектр сигналу

Слід зазначити, що значення коефіцієнтів можуть бути легко обчислені безпосередньо за формулою

. (1.6)

Таким чином, періодичний сигнал , задовольняє умовам Діріхле, має лінійчатий (дискретний) спектр, розташований в області невід'ємних частот при використанні дійсної форми ряду Фур’є і певний на всій дійсної частотної осі в разі його ком-комплексного представлення.

Гармонічний аналіз неперіодичних сигналів. Відоме з математики узагальнене розкладання періодичного сигналу в ряд Фур'є у випадку неперіодичного сигналу (рис. 1.4) приводить до наступного результату:

Рисунок 1.4 Зображення неперіодичного сигналу

(1.7)

де - спектральна функція сигналу , що обчислюється шляхом прямого перетворення Фур'є, а саме:

(1.8)

Співвідношення (1.7) називається зворотним перетворенням Фур'є. Встановлено, що наведені вирази (1.7) та (1.8) справедливі, якщо сигнал на будь-якому кінцевому інтервалі часу задовольняє умовам Діріхле і є абсолютно інтегрованим на всій часовій осі, тобто

.

Спектральна функція сигналу є в загальному випадку комплексною і може бути записана в експоненційній формі

де - амплітудний, а - фазовий спектри сигналу . З формули (1.8) випливає, що

.

Оскільки перший і другий доданки в цьому співвідношенні є відповідно парною і непарною функціями частоти, стає очевидним, що амплітудний спектр є парна, а фазовий - непарна функції частоти. Можливі структури цих спектрів представлені на рис. 1.5 а, б відповідно. За умови використання зазначених властивостей спектральної функції вираз (1.7) може бути записано у вигляді

Останнє співвідношення наочно ілюструє «фізичний» сенс спектральної функції : з нього випливає, що сигнал , задовольняючий названим умовам, може бути представлений у вигляді суми нескінченно великої кількості гармонічних складових, частоти яких безперервно заповнюють інтервал від 0 до , початкові фази задаються функцією, а амплітуди є нескінченно малими та їх частотна залежність описується законом .
Отже, неперіодичні сигнали характеризуються безперервним (суцільним) спектром, причому амплітудний спектр є парною, а фазовий - непарної функціями частоти.

Зв'язок між спектрами одиночного імпульсу і періодичною по-послідовністю імпульсів. Нехай заданий одиночний імпульсний сигнал (див. рис. 1.4) зі спектральною функцією . Нехай є також періодична послідовність імпульсів , сформована шляхом повторення вихідного імпульсного сигналу з періодом (див. рис. 1.1, не звертаючи уваги на позначення осі ординат). Комплексний спектр періодичного сигналу , згідно співвідношенню (1.5), характеризується набором коефіцієнтів . Відповідь на питання про зв'язок між спектральної функцією сигналу і комплексним спектром періодичної послідовності має важливий практичний сенс. Зазначений зв'язок легко встановлюється. Дійсно, з урахуванням виразів (1.1), (1.2), (1.5) і (1.8) можна записати наступне:

.

Дані співвідношення свідчать про те, що значення комплексного спектра періодичного сигналу з точністю до постійного (роз-мірного) коефіцієнта збігаються з відліками спектральної функції вихідного одиночного імпульсу , взятими на відповідних частотах. Іншими словами, огинаючі амплітудного та фазового дискретних спектрів періодичного сигналу збігаються за формою з амплітудним і фазовим неперервними спектрами вихідного одиночного імпульсного сигналу, що ілюструється на рис. 1.5, а, б.

Рисунок 1.5 Амплітудний (а) та фазовий (б) спектри одиночного імпульсного сигналу