Порядок выполнения лабораторной работы. Пример. Численно решить систему 2-х нелинейных уравнений методом итераций с точностью e = 0,001:

Пример. Численно решить систему 2-х нелинейных уравнений методом итераций с точностью e = 0, 001:

при x > 0, y > 0.

Вид листа MS Exsel для решения задачи представлен на рис.

1. Каждое уравнение определяет кривую на плоскости XOY. Решением системы является точка пересечения этих кривых. Для локализации решения построим графики кривых. Для этого преобразуем уравнения системы с учетом условия x > 0, y > 0:

.

Первое уравнение удовлетворяет условию y > 0 при x > 1. Второе уравнение с учетом x > 0 определено при x ³ 1. Таким образом, графики обеих функций будем строить в области x > 1. На рабочем листе в области А3: С13 вычислены значения функций, начиная со значения x = 1, 1 с шагом Dx = 0, 1 до значения x = 2, 0. С использованием мастера диаграмм построены графики функций. Использовалась точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров, с соответствующим форматированием и выбором диапазонов шкал переменных для улучшения наглядности графика. В качестве начального приближения приняты значения x₀ =1, 8 и y₀ = 1, 5, что отмечено в ячейках В39: В40 рабочего листа.

2. Введем обозначения и перепишем систему в следующем виде:

.

Вводим вспомогательные функции следующим образом:

.

3. Вычислим частные производные функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке начального приближения (x₀ ; y₀ ) = (1, 8; 1, 5):

Таким образом, матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке начального приближения (x₀ ; y₀ ) = (1, 8; 1, 5) имеет вид:

.

Программируем область А42: В43 для элементов матрицы Якоби , ссылаясь на значения переменных начального приближения: ячейка А42 = " =В40", ячейка В42 = " =В39-1", ячейка А43 = " =2*В39", ячейка В43 =
" =-2*В40". Обратную матрицу Якоби разместим в области D42: E43. Для этого воспользуемся встроенной функцией МОБР мастера функций из категории " Математические" и используем в качестве параметра диапазон ячеек А42: В43. Матрицу корректирующих множителей разместим в области А45: В46, присвоив ее элементам значения, противоположные значениям элементов обратной матрицы Якоби : ячейка А45=" =-D42" и протягиваем формулу в диапазон А45: В46.

4. Итерационный алгоритм реализуется следующим образом:

x_k = g₁(x_k-1 , y_k-1 ), y_k = g₂(x_k-1 , y_k-1 ), k = 1, 2, 3, …

Оценка погрешности k -го приближения производится по формуле:

, (5)

где - вектор k -го приближения,

- вектор точного решения,

- норма вектора,

- максимальная норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в области D с центром в точке начального приближения, локализующей решение.

Оформляем строку заголовков для реализации итерационной процедуры, используя следующие обозначения: А47 = " №" (номер итерации),
В47 = " х" (текущее приближение переменной х), С47 = " y" (текущее приближение переменной y), D47 = " f₁" (значение функции f₁(x, y)), E47 = " f₂" (значение функции f₂(x, y)), F47 = " g₁" (значение функции g₁(x, y)), G47 = " g₂" (значение функции g₂(x, y)), H47 = " d_k" (норма разности векторов последовательных приближений ).

Будем использовать m -нормы векторов и матриц. В качестве нормы вектора принимается . В качестве нормы матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

принимается:

. (6)

Так как степень близости начального приближения к точному решению заранее неизвестна, то выделить априори область локализации решения невозможно. Поэтому значение максимальной нормы q неизвестно. Предполагается, что норма q< 0, 5 и оценка погрешности совпадает с нормой разности векторов последовательных приближений . После получения приближенного решения с заданной точностью необходимо вычислить для него фактическую норму матрицы Якоби J_g. Если норма меньше 0, 5, то заданная точность достигнута. Если норма больше 0, 5, то необходимо умножить на 10 норму и продолжать итерации до тех пор, пока величина не станет меньше заданной точности.

Программируется первая итерация: ячейка A48 = " 1" (номер 1-ой итерации), B48 = " =В39" (начальное приближение переменной х), С48 = " =В40" (начальное приближение переменной y), D48 = " =B48*C48-C48-1" (значение функции f₁(x, y) = xy – y – 1), E48 = " = B48^2-C48^2-1" (значение функции f₂(x, y) = x² – y² – 1), F48 = " = B48+$A$45*D48+$B$45*E48" (значение функции g₁(x, y) = x + l₁₁ f₁(x, y) + l₁₂ f₂(x, y) = x₁ – 1-ое приближение переменной х), G48= " =C48+$A$46*D48+$B$46*E48" (значение функции g₂(x, y) = y + l₂₁ f₁(x, y) + l₂₂ f₂(x, y) = y₁ - 1-ое приближение переменной y), ячейка H48= " =МАКС(ABS(F48-B48); ABS(G48-C48))" ( норма разности векторов последовательных приближений ).

Программируется вторая итерация: ячейка A49 = " 2" (номер 2-ой итерации), B49 = " =F48" (1-ое приближение переменной х), С49 = " =G48" (1-ое приближение переменной y), в диапазон D49: Н49 протягиваются формулы из диапазона D48: Н48.

Номера последующих итераций в столбце А нумеруются протяжкой арифметической прогрессии из диапазона А48: А49. Формулы в столбцах B: H протягиваются из диапазона B49: H49. Решение прекращается, когда в столбце Н норма разности векторов последовательных приближений не станет меньше заданной точности. Прямое применение формулы (5) для максимальной нормы матрицы Якоби системы функций
g₁(x, y), g₁(x, y) в области D с центром в точке начального приближения, локализующей решение, невозможно из-за незнания фактического отклонения решения от начального приближения. Поэтому необходимо вычислить норму матрицы Якоби J_g в точке найденного приближенного решения.

Эта процедура в приведенном рабочем листе MS Exsel реализована в диапазоне K47: N57. Точное решение получено протяжкой итерационной процедуры до тех пор, пока функции f₁(x, y) и f₂(x, y) не обратятся в ноль. Тогда в столбцах F и G находится точное решение, которое заносится в ячейки М48: М49. Приближенное решение соответствует той строке в столбцах F и G, для которой выполнено условие , где e - заданная точность. В частности, в рассматриваемом примере, точность e = 0, 001 достигается на 3-ей итерации. Поэтому ячейка L48=" =F50", ячейка L49=" =G50". Для определения реальной точности вычислений программируются ячейки для определения погрешности решения: N48=" =ABS(L48-M48)" (погрешность вычисления компоненты х: ½ x_k – x^* ½), N48=" =ABS(L49-M49)" (погрешность вычисления компоненты y: ½ y_k – y^* ½).

Программируются ячейки для вычисления элементов матрицы Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y), в точке приближенного решения: K51=" =L49" (элемент матрицы Якоби ), L51=" =L48-1" (элемент матрицы Якоби ), K52=" =2*L48 " (элемент матрицы Якоби ), L52=" =-2*L49 " (элемент матрицы Якоби ).

Программируются ячейки для вычисления элементов матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y): K54=" =1+A45*K51+B45*K52" (элемент матрицы Якоби ), L54=" =A45*L51+B45*L52" (элемент матрицы Якоби ), K55= " =A46*K51+B46*K52" (элемент матрицы Якоби ), L55 = " =1+A46*L51+B46*L52" (элемент матрицы Якоби ).

Для вычисления m -нормы матрицы Якоби J_g вносим формулу в ячейку K57= " =МАКС(ABS(K54)+ABS(L54); ABS(K55)+ABS(L55))" ( в соответствии с формулой (6)). В рассматриваемом примере m -нормы матрицы Якоби J_g равна , поэтому приведенная в ячейке Н51 оценка погрешности, равная 0, 000422, является гарантировано достигнутой. Фактическое отклонение значений переменных от точного решения на порядок меньше гарантированной точности.