Порядок выполнения работы. Пример. Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений методом итераций с точностью e= 0,001:

Пример. Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений методом итераций с точностью e= 0, 001:

Точное решение системы:

Вид рабочего листа MS Exsel приведен на рисунке.

1. В диапазоне A2: D4 разместим расширенную матрицу коэффициентов системы. В ячейке G1 размещаем заданную точность. В диапазон I2: I4 заносим точное решение системы.

2. В диапазоне А7: К9 размещаем элементы итерационной процедуры . В диапазоне ячеек С7: Е9 вычисляем матрицу a. Для этого вносим формулу в ячейку С7 = " =-А2/$A$2" и протягиваем формулу на диапазон D7: E7. Обнуляем элемент a₁₁: С7 = " 0". Таким образом, определена 1-ая строка матрицы a в соответствии с (3). Для 2-ой строки матрицы a выполняем аналогичные действия: ячейка С8 = " =-A3/$B$3", протягиваем формулу на диапазон D8: E8, обнуляем элемент a₂₂: D8 = " 0". По аналогии для 3-ей строки: ячейка С9 = " =-A4/$C$4", протягиваем формулу на диапазон D9: E9, обнуляем элемент a₃₃: Е9 = " 0".

В диапазоне К7: К9 размещаем вектор , вычисляемый по формуле (3): ячейка К7 = " =D2/A2", ячейка К8 = " =D3/B3", ячейка К9 = " =D4/C4".

В диапазоне G7: G9 размещаем предшествующее приближение , которое на 1-ой итерации принимается равным вектору . Поэтому копируем значения диапазона ячеек К7: К9 в диапазон G7: G9: Правка – Специальная вставка – Значения (прямое копирование недопустимо, так как в К7: К9 расположены формулы).

В диапазоне I7: I9 размещаем первое слагаемое итерационной формулы , используя встроенную функцию матричного умножения: выделяем ячейку I7, с помощью мастера функций из категории Математические выбираем функцию МУМНОЖ и заносим в ячейку I7 = " =МУМНОЖ(C7: E9; G7: G9)", выделяем диапазон I7: I9, перемещаем курсор в строку формул, одновременно нажимаем клавиши Сtrl+Shift+Enter.

В диапазоне А7: А9 вычисляем следующее приближение : ячейка А7 = " =I7+K7", протягиваем формулу из А7 в диапазон А8: А9.

3. Для вычисления норм матрицы a и вектора выполняются предварительные вычисления. В диапазоне А12: С14 размещаем матрицу из модулей элементов матрицы a: ячейка А12 = " =ABS(C7)" и протягиваем в диапазон А12: С14. В диапазоне E12: G14 размещаем матрицу из квадратов элементов матрицы a: ячейка Е12 = " =C7^2" и протягиваем в диапазон E12: G14. В диапазоне I12: I14 размещаем вектор из модулей элементов вектора : ячейка I12 = " =ABS(K7)" и протягиваем в диапазон I12: I14. В диапазоне К12: К14 размещаем вектор из квадратов элементов вектора : ячейка К12 = " =К7^2" и протягиваем в диапазон К12: К14.

В диапазоне А16: D19 вычисляем нормы матрицы a и вектора и прогнозируемое число итераций для достижения заданной точности: ячейка В17 = " =МАКС(СУММ(A12: C12); СУММ(A13: C13); СУММ(A14: C14))" (формула (14) для матрицы a), ячейка В18= " =МАКС(СУММ(A12: A14); СУММ(B12: B14); СУММ(C12: C14))" (формула (15) для матрицы a), ячейка В19 = " =КОРЕНЬ(СУММ(E12: G14))" (формула (16) для матрицы a), ячейка С17 = " =МАКС(I12: I14)" (формула (11) для вектора ), ячейка С18 = " =СУММ(I12: I14)" (формула (12) для вектора ), ячейка С19 = " =КОРЕНЬ(СУММ(K12: K14))" (формула (13) для вектора ), ячейка D17 = " =ОКРУГЛВВЕРХ(LOG10($G$1*(1-B17)/C17)/LOG10(B17)-1; 0)" (формула (9) для m -нормы), протягиваем формулу из D17 в диапазон D18: D19 (формула (9) для l -нормы и k -нормы). Результат вычислений по формуле (9) округляется вверх с помощью встроенной функции табличного процессора. Некоторые из норм матрицы a могут оказаться больше 1, в этом случае остальные вычисления для этих норм проводить не надо.

4. Программируем диапазон ячеек A21: I24 для оценки текущей достигнутой точности. В диапазоне А22: А24 размещаем вектор разности последовательных приближений : ячейка А22 = " =A7-G7", протягиваем формулу из А22 в диапазон А23: А24. В диапазоне В22: В24 размещаем модули компонент вектора : ячейка В22 = " =ABS(A22)", протягиваем формулу из В22 в диапазон В23: В24. В диапазоне С22: С24 размещаем квадраты компонент вектора : ячейка С22 = " =A22^2", протягиваем формулу из С22 в диапазон С23: С24.

В диапазоне F22: F24 вычисляем нормы вектора : ячейка F22 = " =МАКС(B22: B24)" (формула (11)), ячейка F23 = " =СУММ(B22: B24)" (формула (12)), ячейка F24 = " =КОРЕНЬ(СУММ(C22: C24))" (формула (13)).

В диапазоне I22: I24 вычисляем оценку достигнутой точности (ошибки) для всех норм по формуле (10): ячейка I22 = " =B17/(1-B17)*F22", протягиваем формулу из I22 в диапазон I23: I24.

5. В строках 26: 33 формируем сводную таблицу результатов. В диапазон С27: С29 вносим компоненты начального приближения копированием из диапазона G7: G9. В следующих ячейках строк 27: 29 размещаем компоненты следующих приближений, которые копируются по значениям из диапазона А7: А9. В строках 30: 32 размещаются оценки достигнутой точности (ошибки) для всех норм, которые копируются по значениям из диапазона I22: I24. Фактическая ошибка равна максимуму модуля отклонения компонент приближенного решения от точного : ячейка D33 = " =МАКС(ABS($I$2-D27); ABS($I$3-D28); ABS($I$4-D29))", формула из D33 протягивается далее по строке 33 на необходимое число ячеек.

6. Процесс вычислений производится следующим образом. Начальное приближение заносится в вектор (диапазон G7: G9). Тогда в диапазоне А7: А9 вычисляются значения компонент 1-го приближения, в диапазоне I22: I24 – оценка достигнутой точности (ошибки) для всех норм. Эти диапазоны копируются по значениям в соответствующие диапазоны сводной таблицы результатов. В строке 33 вычисляется фактическая ошибка приближения.

Для реализации 2-ой итерации необходимо перенести по значениям компоненты 1-го приближения (диапазон А7: А9) в диапазон G7: G9 предшествующего приближения. Табличный процессор автоматически пересчитает следующее приближение (в диапазоне А7: А9), оценку достигнутой точности (ошибки) для всех норм (в диапазоне I22: I24). Эти результаты копируются по значениям в сводную таблицу, где в строке 33 вычисляется фактическая ошибка приближения. Данную процедуру применяем до тех пор, пока фактическая ошибка приближения не станет меньше заданной точности. В рассматриваемом примере потребовалось 6 итераций. При этом прогноз ошибок на порядок выше фактической ошибки, а минимально прогнозируемое число итераций (в m -норме) равно 16.