Элементы теории. Правило округления приближенных чисел (правило четной цифры):

Правило округления приближенных чисел (правило четной цифры):

1) если отбрасываемые цифры составляют число, большее половины единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу. Если отбрасываемые цифры составляют число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда, то оставляемые цифры не изменяются;

2) если отбрасываемые цифры составляют число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная.

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется величина D_а, удовлетворяющая неравенству:

. (1)

Абсолютная погрешность представляет собой верхнюю границу отклонения точного числа А от приближенного:

а - D_а £ А £ а + D_а. (2)

Неравенство (2) часто записывают в следующей форме:

А = а ± D_а. (3)

Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а называется величина d_а, удовлетворяющая неравенству:

. (4)

В частности, в качестве относительной погрешности можно принять

, (5)

а соотношение (3) представить в виде

А = а(1 ± d_а). (6)

Относительная погрешность есть безразмерное число и ее иногда выражают в процентах.

Точность вычислений определяется числом цифр результата, заслуживающих доверия. Значащими цифрами числа называются все его цифры, в том числе и 0, если он стоит между отличными от нуля цифрами или после них, как представитель сохраняемых разрядов числа. Нули в конце числа – всегда значащие цифры (в противном случае их не пишут).

Всякое десятичное положительное число а может быть представлено в виде:

а = a₁× 10 ^m+ a₂× 10 ^{m – 1} + … + a_n× 10 ^{m – n + 1} + ….

Цифра a_n приближенного числа а называется верной значащей цифрой, если выполняется неравенство:

, (7)

то есть если абсолютная величина разности между точным числом и его приближенным значением не превосходит половины десятичного разряда числа a_n. Обычно вместо используется абсолютная погрешность , то есть неравенство (7) заменяют следующим:

. (8)

Если задано число n верных знаков приближенного числа а, то за абсолютную погрешность можно принять:

. (9)

Если неравенство (8) не выполняется, то цифру a_n называют сомнительной. Если цифра a_n – верная, то и все предыдущие (слева от нее) – также верные.

Рассмотрим точные числа А₁ , А₂ , …, А_n и их приближенные значения а₁ , а₂ , …, а_n. Пусть - сумма всех точных чисел, а - сумма приближенных значений. Пусть известны абсолютные погрешности всех приближенных чисел. В качестве абсолютной погрешности приближенного числа а можно принять сумму абсолютных погрешностей слагаемых:

.

При сложении чисел различной абсолютной точности обычно поступают следующим образом:

1) выделяют число (или числа) наименьшей абсолютной точности;

2) более точные числа округляют таким образом, чтобы сохранить в них на один знак больше, чем в выделенном числе;

3) производят сложение, учитывая все сохраненные знаки;

4) полученный результат округляют на один знак.

Рассмотрим два точных числа А₁ и А₂ и их приближенные значения а₁ и а₂. Пусть А = А₁А₂ и а = а₁а₂. Относительные погрешности чисел и . В качестве относительной погрешности произведения а = а₁а₂ можно принять сумму относительных погрешностей сомножителей:

. (10)

Этот результат распространяется на произведение нескольких сомножителей: если А = А₁А₂ … А_n и а = а₁а₂ … а_n, то можно принять:

. (11)

Если все сомножители, кроме одного, являются точными, то относительная погрешность произведения совпадает с относительной погрешностью приближенного сомножителя. При умножении приближенного числа а₁ на точный сомножитель k абсолютна погрешность произведения в раз больше абсолютной погрешности приближенного числа. Если
а = ka₁, то:

. (12)

Зная относительную погрешность произведения а можно определить его абсолютную погрешность по формуле .

При перемножении чисел с различной относительной погрешностью обычно поступают следующим образом:

1) выделяют число с наименьшим количеством верных значащих цифр;

2) округляют оставшиеся сомножители таким образом, чтобы они содержали на одну значащую цифру больше, чем количество верных значащих цифр в выделенном числе;

3) сохраняют в произведении столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет наименее точный из сомножителей.

Рассмотрим два точных числа А₁ и А₂ и их приближенные значения а₁ и а₂ с абсолютными погрешностями и . Необходимо оценить относительную погрешность частного а = а₁ / а₂ для точного значения
А = А₁ / А₂. Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя:

. (13)

При использовании формулы (13) для оценки относительной погрешности частного основной вклад в нее дают наименее точные числа. Обычно поступают следующим образом:

1) выделяют число с наименьшим числом верных цифр;

2) второе число округляют, оставив на одну значащую цифру больше, чем у выделенного;

3) в частном сохраняют столько значащих цифр, сколько их было в наименее точном числе.

Зная относительную погрешность частного, абсолютная погрешность вычисляется по формуле:

. (14)

Рассмотрим приближенное число а₁, имеющее относительную погрешность . Требуется оценить относительную погрешность степени . Так как:

,

то относительная погрешность степени равна:

. (15)

Таким образом, при возведении в степень m приближенного числа а его относительная погрешность увеличивается в m раз. В результате оставляют столько значащих цифр, сколько их имело приближенное число.

Рассмотрим приближенное число а₁, имеющее относительную погрешность . Можно показать, что относительная погрешность числа в m раз меньше относительной погрешности числа а₁:

. (16)

При извлечении корня из приближенного числа в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их имело подкоренное выражение.