Равномерная непрерывность ф ункции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Рассмотрим непрерывную на Е, т.е.

Ясно, что для различных точек - различно, если можно подобрать подходящее сразу для всех точек, то функция называется равномерной, непрерывной.

Определение:

Функция называется равномерной, непрерывной на Е, если для любого ,

Ясно, что для любая равномерная непрерывная функция будет и просто непрерывной, такое что , обратное – не верно.

Пример:

Есть частный случай, когда из непрерывности следует равномерная непрерывность.

Теорема (Кантора о равномерной непрерывности):

Всякая непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем.

Доказательство:

Фиксируем Пусть не существует для которого бы выполнялись условия равномерной непрерывности

Возьмем последовательность не отрицательных чисел По предположению (1) По лемме Б. Б. из ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся в некоторой точке Будем считать что уже сама последовательность сходится к Т.к. , то В виду того, что - непрерывна а это противоречит тому, что непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна