Определение моментов инерции твердых тел

Цель работы – определить опытным путем моменты инерции твердых тел сложной формы.

Теоретическое обоснование. Основное уравнение динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

M_вp=J•ε, (5.1)

где М_вр – вращающий момент, Н•м; ε – угловое ускорение, рад/с^2;

J – момент инерции тела относительно оси вращения, Н•м•с².

Момент инерции тела J равен сумме произведений масс материальных точек m_i составляющих это тело, на квадрат их расстояния r_i до оси вращения z (рисунок 5.1)

J=∑ m_ir_i ², (5.2)

Момент инерции во вращательном движении имеет такое же значение, как масса тела при поступательном движении, следовательно, момент инерции есть мера инертности вращающегося тела.

Момент инерции J_z относительно оси z, параллельной централь­ной, равен центральному моменту инерции J_С плюс произведение массы т тела на квадрат расстояния а между этими осями (рисунок 5.2):

Рисунок 5.1 Рисунок 5.2

J_z=J_C+ma², (5.3)

Последнее уравнение позволяет вычислить осевой момент инер­ции тела сложной формы, составленного из простых геометриче­ских тел.

Во многих случаях тела, образующие звенья механизмов, имеют еще более сложную конфигурацию и тогда приходится определять их момент инерции опытным путем. Ниже рассматривается наи­более часто применяемый способ определения момента инерции тела при помощи маятниковых качаний.

Установка для испытания. Тело 1, момент инерции которого надо определить (рисунок 5.3), подвешивают на ребро неподвижной призмы 2, отклоняют от вертикального положения на угол φ и затем отпускают. Испытуемое тело буде: совершать коле-бания в плоскости, перпендикулярной ребру призмы, вокруг точки подвеса О.

Момент инерции маятника отно-сительно оси подвеса и период его колебания связаны зависимостью

J_C= , (5.4)

где J_С – центральный момент инерции,

Н•м²; т – масса тела, кг; а – расстояние от центра тяжести С до точки подвеса О, м; g – ускорение свободного падения, м/с².

Рисунок 5.3

Эта формула приближенная, она справедлива при небольших углах колебания. При φ ≤ 7° ошибка в определении осевого момента инерции не превышает 0, 1%. В связи с эти необходимо следить за тем, чтобы угол отклонения осевой линии не превышал 7…8°. Способ маятниковых качаний применяют для тел, которые удобно подвесить на ребро трехгранной призмы, например для шатунов, кривошипов и звеньев удлиненной формы с отверстиями.

При определении осевого момента инерции способом маятнико- вых качаний необходимо измерить период колебаний Т, а также определить массу тела m и положение центра тяжести С относительно точки подвеса. Массу тела определяют взвешиванием. Крупные звенья, имеющие ось симметрии (рисунок 5.4), подвешивают на одной нити 1, прикрепленной к двум концам звена 2. К точ­ке подвеса присоединя­ют отвес 3. Точка пере­сечения С линии соот­ветствующей нити под­веса с осью симметрии звена является центром тяжести звена. Масштабной линейкой измеряют расстояние а от центра тяжести С до точки подвеса звена.

Рисунок 5.4

Порядок выполнения работы. Ознакомиться с установкой и спосо­бом определения мо­мента инерции тела. В отчете о работе вы-полнить эскиз детали, указать точку подвеса и обозначить расстояние от этой точки до предполагаемого положения центра тяжести детали.

Определить взвешиванием массу детали в кг и записать её величину в отчет.

Определить центр тяже­сти детали установкой дета­ли на призме или подвешиванием на нити, прикрепленной к дета­ли (рисунок 5.4).

Измерить линейкой рас­стояние от центра тяжести до точки подвеса. Данные записать в отчет.

Подвесить деталь на призму и определить период колебания Т. Подвешенную деталь отклонить от верти­кального положения на угол не более 7° и отпустить. Деталь начнет совершать колебания. В тот момент, когда деталь придет в одно из крайних положений (правое или левое), следует включить секундомер и вести счет полным ко­лебаниям. Полное колебание происходит тогда, когда деталь снова вернется в начальное положение. При счете «20», т. е. когда деталь совершит двадцать полных колебаний, секундомер выключить.

Измерение следует повторить не менее 3 раз и данные записать в таблицу 5.1 отчета.

Вычислить время одного полного колебания.

Вычислить величину центрального момента инерции.

Отчет о работе. 1 Эскиз детали с указанием оси симметрии, точки подвеса и расстояния а от этой точки до центра тяжести.

Масса детали m =... кг.

2 Эскиз установки детали при определении положения центра
тяжести.

3 Таблица записи результатов испытания

Таблица 5.1

4 Ответы на контрольные вопросы.

Таблица 5.2 Варианты задания

Контрольные вопросы

1 При каком виде движения тела момент инерции характеризует инертность тела?

2 Какой момент инерции тела больше: относительно центральной оси или оси, параллельной центральной?

3 Какова размерность момента инерции в единицах СИ и МКГСС?

4 Почему при определении момента инерции способом маятниковых качаний угол отклонения от вертикали должен быть небольшим?

5 Какими способами можно практически определить положение центра тяжести деталей сложной формы?

6 Почему рекомендуется измерять время довольно большого числа полных колебаний, а затем вычислять время одного периода колебаний?

Лабораторная работа №6