Реализация метода Монте-Карло.

Покажем два метода: одномерная случайная величина и двумерная случайная величина– оценка площадей.

Одномерная случайная величина – статистический вариант метода прямоугольников.

В качестве текущего узла берется случайное число, равномерно распределенное на интервале интегрирования.

Двумерная случайная величина - рассматриваются две равномерно распределенных случайных величины, которые можно рассматривать как координаты точки в двумерном пространстве. За приближенное значение интеграла принимается количества точек, попавших под кривую f(x), к общему числу испытаний.

Рассмотрим решение задачи о вычислении интеграла . Как и в предыдущих примерах разобьем решение на блоки:

1. Задание подынтегральной функции

2. Задание координат вершин прямоугольника

3. Задание числа точек случайной последовательности

Генерация последовательностей случайных чисел с равномерным законом распределения на интервалах

4. Задание координатной сетки для построения графика подынтегральной функции

5. Подсчет числа точек, попавших под график функции

6. Вычисление площади прямоугольника

7. Вычисление значения интеграла (двумерная случайная величина)

8. Второй способ (одномерная случайная величина) вычисления интеграла, рассматривая его как среднее значение функции на отрезке , где – последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения на данном отрезке.

Заключение.

В своей работе я показал различные методы численного интегрирования, которые были реализованы при помощи математического пакета Mathcad.

Хочется отметить ряд особенностей этих методов. Каждый способ приближённого решения интегралов имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться одним из методов прямоугольника. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но применение этого метода может потребовать слишком большого количества итераций или машинного времени, он сильно уступает методу Симпсона, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими. Данные методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, но есть одно но, - они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, одним из них является метод Монте-Карло. Особую роль он играет в вычислениях задач, в которых исходные данные носят случайный характер, для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. Данный метод используется не только в рассматриваемой мной области применения. Он также широко применяется в современных методах моделирования динамики молекулярных систем, взаимодействия растворенного вещества с молекулами растворителя, кинетики адсорбции веществ на твердых поверхностях и т.д.