Элементы топологии

11.1. Докажите, что фигура, являющаяся объединением боковой поверхности цилиндра и его нижнего основания («стакан»), гомеоморфна кругу.

11.2. Докажите, что плоскость гомеоморфна открытому кругу (т.е. кругу, к которому не причисляются точки ограничивающей его окружности), а также сфере, из которой «выколота» (удалена) одна точка.

11.3. Если фигура А состоит лишь из конечного числа точек, то через n(А) обозначим число ее точек; если же фигура А содержит бесконечно много точек, то условимся писать n(А)= ∞. Является ли n(А) топологическим инвариантом?

11.4. Фигура А называется вложимой в плоскость, если она гомеоморфна некоторой фигуре, лежащей в плоскости. Например, «стакан» (задача 11.1) вложим в плоскость. Является ли свойство фигуры быть вложимой в плоскость топологическим инвариантом?

11.5. Докажите, что всякая простая замкнутая линия на сфере разбивает сферу на две области.

11.6. На плоскости проведены k ломаных линий, каждая из которых соединяет две заданные точки p и q. Докажите, что если других общих точек ломаные попарно не имеют, то плоскость разбита на k областей.

11.7. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, оси которых проходят через центр шара. Докажите, что поверхность получившегося тела, гомеоморфна сфере с пятью ручками.

11.8. На поверхности P_k проведеноqконтуров, не пересекающихся друг с другом, причем после разрезания по всем этим контурам поверхность остается связной. Докажите, что q ≤ k.

11.9. На замкнутой поверхности Q осуществлено топологически правильное разбиение: каждая грань – пятиугольник, в каждой вершине сходятся по четыре грани. Докажите, что если число граней не кратно восьми, то поверхность Q не ориентируема.

11.10. На замкнутой поверхности Q проведены три линии p, q, r, гомеоморфные отрезку, которые имеют общие концы и попарно не имеют других общих точек. Докажите, что если разрез по одной из линий составляет поверхность связной, то хотя бы одна из двух других также обладает этим свойством.

11.11. На сфере вырезаны m+n+p отверстий; m из них заклеены ручками, а n – лентами Мебиуса. Докажите, что эйлерова характеристика получившейся поверхности с краем равна 2-2 m-n-p.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сборник задач по высшей математике. Ч.1 Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие для втузов / В.А. Болгов, Б.П. Демидович, А.В. Ефимов [и др.]; под ред. А.В. Ефимовича, Б.П. Демидовича. – М.Наука: Физ.мат. лит., 2004. – 464с.

2. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике, учеб.пособ. для втузов/ В.П. Минорский. – М.: Физ.мат.лит., 2004г. 336с.

3. Болтянский, В.Г. Наглядная топология/ В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович. – М.: Наука, Физ.мат.лит., 1983. – 160с.

Геометрия и топология. Задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».

КОБЗЕВ ВЛАДИМИР МИХАЙЛОВИЧ

СЫЧЕВА НАДЕЖДА ВАСИЛЬЕВНА

Научный редактор А.И. Гореленков

Редактор издательства Л.И. Захарова

Компьютерный набор А.П. Левкина

Темплан 2014г., п. 463

Подписано в печать Формат 60´ 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 30экз. Заказ Бесплатно

Издательство Брянского государственного технического университета

241035, г. Брянск, бульвар им. 50 лет Октября, 7, БГТУ, 58-82-49

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16