Модель вязкой жидкости. Уравнения Навье - Стокса

Опр: жидкость называется вязкой, если в ее объеме при относительном перемещении слоев действуют как нормальные, так и касательные силы напряжения.

Тензор напряжений:

; - напряжение на площадке с нормалью x, в проекции на ось x (нормальное). - касательное напряжение

Движение вязкой жидкости описывается уравнениями Навье - Стокса. Уравнения Навье – Стокса получаются из уравнения движения сплошной среды в напряжениях (если вместо компонент тензора напряжений подставить их выражения через компоненты тензора скоростей деформаций из закона Навье-Стокса):

; - коэф. динамической вязкости

; -коэф. объемной вязкости; , μ – коэффициент динамической вязкости, - коэф. кинемат. вязкости;

Для несжимаемой жидкости ; => получаем уравнения Навье – Стокса:

Проекции на оси координат (еще нужно F_x, F_y и F_z добавить с “+” справа в 1-ых 3-х уравнениях):

Единственность решения уравнений Навье – Стокса выбирают из начальных и граничных условий. Граничные условия:

5. Область течения ограничена твердыми неподвижными стенками, условие полного прилипания, т.е на (неподвижная граница),

6.Область течения ограничена подвижными границами, тогда скорость жидкости непосредственно у границы = скорости движения границы на

7.условия на свободной поверхности:

Опр: поверхность свободная - если ее взаимодействия с внешней средой осуществляется по средствам внешнего давления.

Динамические условия: на + условие отсутствия касательных напряжений, т. е , на скорости условия не ставятся.

Скорость точек на поверхности жидкости = скорости движения самой поверхности, т.е - уравнение поверхности

8.Условие на поверхности раздела двух жидкостей:

На поверхности раздела выполняются условия:

а) кинематические условия: при ; ;

b) динамические условия: - равенство сил, т. е ;