Кривизна и кручение. Формулы Френе

Кривизна.
Пусть — регулярная кривая с натуральной параметризацией и пусть — угол между касательными в точках и .Тогда величина наз-ся кривизной, а радиусом кривизны кривой в точке (это скорость поворота касательной при движении точки по кривой). для натуральной и произвольной параметризаций соответственно.

Кручение.
Пусть — регулярная кривая с натуральной параметризацией и пусть — угол между бинормалями в точках и .Тогда величина наз-ся кручением кривой в точке (это скорость поворота вектора бинормали). для натуральной и произвольной параметризаций соответственно.

Формулы Френе.
— для натуральной пар-ции —в матр. виде
Формулы Френе задают разложение произвольных базисных векторов репера Френе по базису Френе. Задать формулы Френе — значит задать кривизну и кручение.
2. Движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Кинематические уравнения Эйлера

Т.к. тело имеет одну неподвижную точку, зн.оно имеет 3 степени свободы. Вводим 3 пар-ра – углы Эйлера(они однозначно определяют положение тела)

ОК- линия узлов -угол нутации -угол собств.вращения

OZ-ось собств.вращен.

- ось прецессии

OK- ось нутации

(проекции на оси НСК)

3. Основные понятия и определения МКЭ. Определение и свойства матриц жёсткости, упругости, функций формы, градиентов

Основное ур. МКЭ

[k]-матрица жёсткости. Физический смысл; столбец матрицы жёсткости представляет собой усилие, которое необходимо приложить к элементу, чтобы один из узлов сдвинулся на единицу, а другой остался неподвижным.

Свойства: 1) диагональная симметричная матрица

2) сумма элементов в столбце равна нулю

3) определитель равен нулю

Способ учёта г.у.

В матрице жёсткости добавляют условия, отвечающие за смещение или покой на границе

Из матрицы жёсткости вычёркивают строки и столбцы, отвечающие нулевым смещениям

Стандартная форма записи аппроксимаций в МКЭ

, где - матрица функций формы.

Физ.смысл: аппроксимирует смещения системы смещениями узлов (даёт коэффициент соответствия)

Свойства: функции формы равны 1 в узлах, к которой относятся, а во всех других =0

Это свойство исполняется на этапе проверки соотношений и алгоритмов.

Закон Гука (связь напряжений и деформаций) записывается с помощью матрицы упругости [D]:

,

Элементы матрицы упругости – коэфф. зависящие от .

Деформации с перемещениями связанные с помощью матрицы градиентов:

Физ. Смысл: выражает деформацию через узловые смещения.

Энергия

Плотность энергии . Матр энергии - обобщённый импульс

Интеграл при векторе скоростей перемещений – аналог массы, поэтому матрица инерции.