Определение интеграла Римана и достаточные условия его существования

Пусть -

Определение: Разбиением отрезка [a, b] наз. множество точек Т={х ….х } удовлетворяющих неравенству a=x <..< x =b.

[x , x ], [x , x ], ….[x , x ] называются отрезками разбиения., (k=0, 1…n-1)

=max{ …. }- наз. мелкостью разбиения Т(диаметром, параметром)

Определение: Разбиением с отмеченными точками наз. пара (Т, ), Т={х ….х } , , … } – это совокупность произвольных фиксированных точек [x , x ], k=0..n-1
Определение: Пусть задана функция f и пусть (Т; разбиение с отмеченными точками [a, b] = наз. интегральной суммой Римана, построенной для разбиения (T, ) отрезка [a, b].Определение: Число J называется пределом суммы при , если для : (T, ) , J= Определение: Функция f: [a, b] C называется интегрируемой по Риману на отрезке [a, b], если существует конечный предел интегральных сумм при , этот предел наз. интегралом от функции f в пределах от a до b и обозначается .Определенный интеграл Римана имеет смысл и для функции вида f: [a, b] X, где Х любое векторное пространство.

Необходимое условие интегрируемости функции Теорема: Если f: [a, b] С интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке [a, b]. Доказательство: По определению имеет конечный предел J= она финально ограничена при : (T, ) .

От противного: Пусть f неограниченна на всем отрезке [a, b], тогда она будет неограниченна на некотором отрезке [x , x ] разбиения T = =f() + (*)

Пользуясь неограниченностью функции f на отрезке [x , x ] выберем значение из [x , x ] так что величина будет сколь угодно большой и тоже будет сколь угодноо большой. Пользуясь свойством, того что

Из (*) |f()| -| | > получили противоречие