Уравнения Лагранжа 2-ого рода

Рассмотрим мат.систему состоящ. из n матер.точек, где -коорд. точек . Будем считать, что на сист.наложены только кинетич.связи, тогда независ.пер-ых s=3n-k –число степеней свободы. В соотв.с этим числом мы можем выбрать параметры - любой размерности, однозначно определ.полож. точек системы, тогда ,

Применим общее ур-е динамики (везде x маленькое заменить X)

(ур-е Даламбера-Лагранжа)

Нам его нужно записать в обобщ коорд: подставляем:

=>

(1)

Обозначим - кинетическая энергия, тогда

. Вернёмся к уравнению

Т.к. - независ. вариации, то коэфф. при обращ. в нуль =>

- ур-е Лагранжа 2-го рода

Число уравнений таких , -обобщ. коорд., -обобщ. скор., -обобщ. сила

Число уравнений = числу степеней свободы. Это ОДУ 2-го порядка с неизв. - как ф-я времени.

Частные случаи:

Действ. силы явл. потэнциальными

, , тогда

Ур-я Лагранжа для консервативных систем

, ,

- ф-я Лагранжа

Первые интегралы

Предположим, ф-я Лагранжа явно от времени не зависит, зн.последнее слагаемое представляет собой полный диф-ал