Несколько замечаний о преподавании

Вопросы обоснования до сих пор, наскольку знаю, традиционно отсутствуют в учебных курсах тех наук, о которых у нас шла речь. В отношении математических дисциплин это особенно странно. Файн[Fine, 1973] предлагал ввести их в преподавание ТВ еще давно, а после успешных работ Юнг[Young, 1998] и подобных ей авторов это отсутствие – уже вопиющий анахронизм. Если бы после создания алгоритмического понимания случайности Колмогоровнаписал учебник ТВ, где сослался бы на это понимание как на первый шаг к обоснованию понятия вероятности, мы бы сейчас обсуждали совсем другой круг вопросов.

Однако учебника Колмогоровтак и не написал. Почему? Поначалу мне хватало мысли, что Колмогоровпрояснил вопрос для себя, чем и удовлетворился, но ознакомление с брошюрой Тутубалина[1977] заставило меня изменить точку зрения. Автор, почтительный ученик Колмогорова, писал, тем не менее, что " вторая аксиоматика Колмогорова" ничем не лучше для прикладных целей, нежели " классическая теоретико-множественная аксиоматика", поскольку ни тут, ни там предпосылки нельзя проверить [Тутубалин, 1977, c. 20]. Мысль явно некорректная, но весьма показательная.

Правильнее было бы сказать: " ни тут ни там предпосылки проверять не принято, ибо это может повлечь смену приоритетов, а с тем и авторитетов", но главное даже не в этом. Главное в том, что от новой теории, едва получившей результаты для простейшей схемы (серия независимых бросаний идеальной монеты) автор сразу же потребовал не только приложимость к практической статистике, но и эффективность, лучшую, чем у господствующего метода. Требование убийственное, о чем свидетельствует вся история науки. (Вспомним хотя бы испанцев, отказавшихся в XVIII веке от первого парохода ввиду его неэффективности, а также от других достижений эпохи, и поэтому оказавшихся на обочине европейской истории.) Назначение алгоритмической теории случайности видится мне на сегодня отнюдь не в приложениях, а в обосновании ТВ, отсутствие которого как раз и декларирует до сих пор Тутубалин.

Еще более прояснило ситуацию появление нового издания " Основных понятий" Колмогорова[1998]. А.Н. Ширяев, ученик Колмогорова, возглавляющий колмогоровскую кафедру, дал в послесловии пунктирный очерк развития ТВ, в котором уделено соответствующее место и алгоритмическому обоснованию вероятности. Почему же в обширном учебнике самого Ширяева [1989] ничего об этом не сказано? Ширяев ответил дважды: начиная и кончая речь об алгоритмических методах отметил, что они не имеют отношения к " понятиям случая и вероятности" [Ширяев, 1998, c. 120, 124]. Вряд ли стоит повторять, что замысел Колмогоровабыл противоположен: ввести в ТВ именно случай – понятие, которого там не было.

Столь радикальное расхождение пониманий вызывает изумление, однако оно легко и естественно встраивается в ряд аналогичных фактов истории науки. Яркий ученый может сам по себе додуматься до чего угодно, но отнюдь не всё может объяснить даже ученикам, не говоря уж о научном сообществе. Думаю, Колмогоровне стал вводить обоснование ТВ в курс ТВ именно потому, что коллеги не восприняли его алгоритмические штудии в качестве обоснования ТВ, сочтя их чем-то посторонним.

Нынешняя ТВ выстроила вокруг себя то, что Лакатош называл защитным поясом теории [Лакатос, 1995]. Вопреки уверениям, что является внутренне самодостаточной и на практике прекрасно работающей, ТВ во многом разошлась как раз с практикой, о чем выше не раз шла речь (напомню хотя бы, что при анализе рушится даже описание ею таких парадных примеров, как симметричная монета и радиоактивный распад) и, на мой взгляд, ныне самодостаточна только как предмет преподавания. Это неожиданно роднит ее с такой расплывчатой доктриной, как дарвинизм, но не менее интересны параллели в самой математике.

По замечанию Нагорного[1996, c. XXVII], в преподавании математики даже для самих математиков (если не считать специалистов по основаниям математики) царят натяжки, приблизительные " определения" и " образные речевые приемы, не имеющие прямого смысла". Он привел примеры из анализа, мне же вспомнились – из дарвинизма (например: " естественный отбор – единственный творческий фактор эволюции") и из ТВ (например: " бросим точку на отрезок"). Трудно спорить с Нагорным, считающим, что такое преподавание отнюдь не дисциплинирует мышления.

Снова напомню мысль Ю.А. Шрейдера– ТВ учит вычислять вероятности, но отучает размышлять о случайности. Однако нельзя отрицать, что такое преподавание проще, чем было бы, если бы базировалось на алгоритмах, странных аттракторах и прочих атрибутах обоснования ТВ. Усложнять его как целое, конечно, не следует, но в этом и нужды нет. Достаточно показать, как возникает вероятностная случайность, разъяснить, что частота стремится к предельной области, но не к точке, а далее пользоваться традиционным аппаратом и лишь в конце курса очертить его точность и границы его применимости. Только для тех, кому надо будет работать вне этих границ, надо рассказывать нечто большее.

Увы, вместо этого всякое предложение заменить " туман предисловий" (Файн) на какое-то обоснование отвергается ссылкой на нежелательность усложнения. Это – один из инструментов " защитного пояса". Так же говорили об излишней сложности эллипсов Кеплерав сравнении с кругами Коперникаи обо многом другом. Беда (и будущее спасение) в том, что эта " простота" постепенно оборачивается в еще большую сложность, как произошло с системой дополнительных кругов (эпициклов, эквантов и пр.) в системе Коперника. В ТВ это вполне заметно уже сейчас.

Характерны признания Джозефа Дуба: короткая и малосодержательная глава " Закон больших чисел" посвящена у него размышлениям о туманности (fuzziness – буквально: кудрявости) всех рассуждений о реальных частотах. Примером туманности он счел и тот факт, что ЗБЧ называют законом [Doob, 1994, c. 159], но не сказал, что же надо делать. А ведь статья его посвящена как раз строгости. По-моему, и строже, и проще было бы рассказать хотя бы про странный аттрактор – что он обеспечивает возникновение вероятностной случайности и что его поведение может быть описано настоящей предельной теоремой, как мы видели в главе 6.

Рано или поздно такой рассказ проникнет в курсы ТВ, и это будет прорыв " защитного пояса". Но для прорыва будущим авторам следует перейти мировоззренчески от первой ПМ ко второй, что естествознание в целом проделало уже 200 лет назад (механика – много раньше, при Галилее), а ТВ еще только собирается.

Конечно, предлагавшиеся до сих пор обоснования ТВ были узки, но поначалу это неизбежно, и отвергаются они не поэтому, а, полагаю, потому, что их принятие повлечет смену приоритетов. Нынешние монографии, в которых на сотнях страниц нет ничего, кроме теоретикомерных теорем о сходимости (ни примеров, ни пояснений вероятностного смысла, ни даже словесных формулировок результатов, не говоря уж о хотя бы гипотетической приложимости) окажутся никому не нужными, как оказались когда-то ненужными исследования эпициклов – а они продолжали печататься более ста лет после смерти Кеплера. Естественно, авторы таких монографий сопротивляются всяким новациям, ибо смена приоритетов будет для них катастрофой, но ведь смена всё равно состоится. Спорить с ними не надо, а вот преподавать обоснование ТВ явно надо – хотя бы для того, чтобы ее не применяли там, где она дает нелепые рекомендации.

Хочется надеяться, что более общее, чем до сих пор, понимание природы случайности, как и природы элементарного математического объекта (" ситэ Мандельброта"), повлечет более широкое обоснование ТВ. Последует осознание границ ТВ, а это неизбежно повлечет и признание алеатики как базы многих других наук.

Заключение

Начав с полета монеты, в заключение вернемся к нему же. Во многом нам удалось добиться значительно большей, чем прежде, ясности.

Монета падает гербом вверх с устойчивой частотой, близкой к 1/2, независимо от того, является ли она идеально симметричной или же несколько искривлена, причем отличить идеальную симметрию от малой диссимметрии путем серии бросаний невозможно ни при какой длине серии. Нерегулярность (случайность) выпадения герба вызвана отнюдь не сложностью полета монеты, а неустойчивостью отображения множества начальных состояний во множество конечных. Устойчивость же частоты обусловлена не фактом симметрии, а самим наличием двух сторон, на каждую из которых возможно падение.

Хотя в учебниках ТВ частотное понимание вероятности никогда не излагается, а если и упоминается, то невнятно, но неявно оно присутствует. Так, Тутубалин[1992, c. 10] пишет, что " частота осуществления того или иного исхода оказывается близкой к некоторому числу, которое и называют вероятностью данного исхода". На самом деле вероятностью называют меру, и как она связана с этим числом, следовало бы разъяснить. Учебник Тутубалинав точности повторил невнятное место из ранних работ Колмогорова, но ведь сам Колмогоровпозже, в 1960-х годах, добился некоторого прояснения вопроса, а в настоящее время достигнут, как мы видели, прогресс весьма значительный – ТВ получила три частных обоснования (пп. 2-9.1, 4-4.1, 4-5.1).

До общего обоснования еще далеко, но связь вероятности-частоты с вероятностью-мерой стала тем самым в значительной степени понятна. О двух других смыслах вероятности (моральном и логическом) нужен разговор отдельный. Он выходит за рамки данной книги, и могу лишь повторить, что логическая вероятность относится к тому кругу явлений, где о частоте речи нет (п. 2-10), а моральная вероятность вообще относится не к явлениям, а к мнениям (см. например п. 7-8).

Поскольку основным назначением данной книги было выйти за привычные рамки ТВ, то главное, что требовалось относительно вероятности – указать ее место в ряду случайностных понятий. Вероятностная случайность (стохастичность) обладает жестким инвариантом – вероятностью – и потому является ступенью между детерминированными и подлинно случайными явлениями. Все формы последних характерны отсутствием устойчивых частот, однако почти все обладают какими-то инвариантами и тем самым допускают теоретическое описание.

Таковые инварианты в основном именуются посредством терминов, взятых из ТВ, но это не должно вводить нас в заблуждение – они обычно относятся к другим разделам алеатики. Так, случайность в играх традиционно описывается с помощью смешанных стратегий, трактуемых как вероятностные векторы (наборы вероятностей); но их можно понимать и как физические векторы (наборы физических долей). Или: квази-гиперболы (описывающие распределение видов по родам, станков по мощности и т.п.) принято трактовать как плотности вероятностей, хотя на самом деле они суть физические доли.

Если исходной моделью случайного явления полагать бросание монеты, то разрушение стохастичности выступает как итог появления зависимости между бросками или их сериями. В простейших ситуациях зависимость удается описать в форме условных вероятностей, в чуть более сложных – в форме случайного процесса (мы рассматривали только простейший – марковскую цепь) и тем самым остаться в рамках ТВ, хотя стохастичность и разрушена. Простейшим примером является блуждание на прямой, имеющее много важных аналогий в практике.

Однако бросание монеты – не более чем модель. Со времен Борелястало возможным рассматривать элементарную случайность иначе: как чтение очередного знака в двоичном (или любом ином) разложении иррационального числа. Она устроена интереснее: на ней видно, что стохастичность выполняется не всегда, а лишь «с вероятностью единица». Здесь яснее всего видно, что разрушение стохастичности есть нарушение симметрии, но сама дисимметризация – более общий феномен.

Если же случайность устроена сложнее, то процедура выявления условных или же переходных вероятностей может оказаться слишком долгой и дробной, и тут удобнее ввести понятие фрактала. Само фракталообразующее правило может быть простым или составным, детерминированным или нет. Словом, всегда важно понимать, с какой случайностью мы имеем дело, и ответ обычно далеко не прост.

Видимо, всякое взаимодействие между случайными актами можно представить как нарушение симметрии случайности, но не наоборот. В частности, случайность, описываемая распределением Коши, выглядит как чисто асимметричная, но не проявляет признаков зависимости между элементарными актами.

Можно, описывая случайность, отправляться с другой стороны – от детерминированных движений (процессов). Тогда элементарный случайный акт выступит как разрушение или запутывание траектории, как динамический хаос. Здесь достигнут наибольший прогресс в понимании случайности, причем получены предельные теоремы, показывающие, как рождается и устанавливается стохастичность.

Однако нам наиболее интересно то, что самая сложная случайность наблюдается на границе детерминированной и хаотической динамик. Если простая нестохастичность может быть хотя бы частично описана с помощью теории устойчивости по Леви, то в более сложных ситуациях остается лишь прямо подсчитывать частоты и делать качественные выводы относительно ограниченного числа шагов (испытаний). Выявляемая при этом динамика случайного процесса может оказаться достаточно простой и общей для различных ветвей процесса (п. 9-7), но совсем не видной из тех предельных теорем, которым подчиняются его отдельные ветви.

Встает естественный вопрос: как управлять случайными процессами? Если в простых ситуациях лучше всего пытаться влиять на вероятности элементарных актов и их взаимосвязь (что общеизвестно), то в более сложных открываются довольно неожиданные пути – например, в процессе размножения и гибели наиболее действенным средством для выживания оказывается не повышение вероятности выживания при элементарном акте размножения, а пропуск самого этого акта (п. 9-7.1). Такой способ управления прекрасно освоен живой природой: в катастрофических условиях прежде всего сокращается размножаемость – обстоятельство, прекрасно известное Мальтусу, но игнорируемое «мальтузианскими» теориями, в том числе дарвинизмом.

Что касается сознательного управления природными и искусственными объектами, то прежде всего надо понять, что случайный процесс их эволюции имеет собственные законы, совсем не похожие на «эволюцию» объектов статистической физики. Вне статистической физики обычен дефицит перемешивания, поэтому всевозможные эргодические идеи обычно заводят в тупик. В частности, ничего не дают теории «среднего человека» (среднего класса, среднего потребителя, среднего ученика и т.п.). Вместо средних величин приходится исследовать ценологические параметры (например, параметры квази-гипербол, пределы возможного изменения величин и т.п.).

Если говорить о техноценозах, то их следует проектировать как целое, но не как нечто детерминированное. Иными словами, объект типа завода надо проектировать в форме ясной, но не жесткой модели, которая должна конкретизироваться по ходу реализации (строительства, ввода в действия и эксплуатации) путем естественного вписывания объекта в свой ценоз. При этом надо осознавать, что случайность никогда совсем не исчезнет. В частности, от ценоза не надо ждать однозначно предсказуемого поведения. Всё это много лет подчеркивает Кудрин.

В отношении эволюции природы мы находимся еще дальше от возможностей реального управления ею, однако сама она настойчиво требует от нас срочно начать ею управлять. Случайные параметры, демонстрируемые природой, меняются столь быстро и нежелательно, что управлять ими так или иначе придется, и сперва опять-таки надо выяснить, со случайностями каких типов мы имеем дело.

Например, всем видно, что природных катастроф становится всё больше, а сами они – всё разрушительнее, но попытки оценить их средние значения (в том числе и вероятности) остаются неуспешными. Смешно и грустно смотреть, как маститый ученый с экрана телевизора лишь разводит руками и предлагает читать Пушкина– мол и прежде бывали страшные наводнения. Полагаю, что трудность прежде всего в нестохастичности самих процессов, а это начит, что нечего ждать статистически достоверных данных о новом характере катастроф. Понимая, что их, возможно, не появится никогда (как никогда не удастся по случайному блужданию, описанному в п. 0-1, установить, симметрична ли монета), надо отправляться от механизмов катастроф, выяснять, что изменилось в них и на что можно влиять.

В этом плане любопытна статья «Почему так часто происходят наводнения?». Исследуя колебания уровня Невы за 300 лет, авторы нашли, что налицо случайная величина, которую удобно моделировать степенным (точнее, гиперболическим) распределением. Как мы уже знаем, один и тот же материал можно описать разными распределениями (п. 7-2). Авторы пишут: «и гамма-распределение, и степенное распределение удовлетворительно соответствуют натурным данным. Однако вероятности катастрофических наводнений, вычисленные на основе этих распределений, существенно различаются» [Найденов, Кожевникова, 2003, с. 17]. Так, самое крупное (оно и описано Пушкиным) наводнение 1824 года почти невозможно согласно первому (его можно ожидать 1 раз в 20 тыс. лет), но вполне реально согласно второму (1 раз в 667 лет). Смысл ясен из приводимых ими графиков: если последовательность реализаций нормально распределенной случайной величины являет собою всем известный «белый шум», то для величины, распределенной гиперболически, график иной: это «почти белый шум» плюс довольно частые сильные всплески (рис. 19). Их силу (независимо от частоты, если она не мала исчезающе) и надо прогнозировать.

К сожалению, никакого анализа типов случайности в статье нет. Авторы просто констатируют, что формулы гидродинамической модели почему-то похожи на формулы невесть откуда взявшихся распределений случайных величин.

Давая рекомендации относительно круга решаемых вопросов и набора пригодных инструментов, алеатика не должна (как не должна и статистика) брать на себя решение самих проблем, если они относятся к другим наукам. Именно в данных рамках мне видится ее большое и притом близкое будущее.