К философии вероятности

Что реальнее, что больше соответствует реальному явлению, именуемому " вероятность", – мера или частота? Как верно отметил Скороход(в обзоре, рассмотренном ранее, в п. 5-7), вопрос " что реально" ведет, в сущности, начало от Платона: для него идеи были реальнее объектов, поскольку сами объекты он мыслил как реализацию идей. (Хотя, как сказано в главе 1, как раз в отношении случайности Платонвысказался иначе – случайно то, что не есть реализация идеи.) Для Скорохода реальнее мера – как идея абстрактной частоты, но эту позицию он никак не аргументирует, а мы в главе 7 видели, что понятие частоты шире.

Платонизм очень распространен среди математиков. Более того, есть мнение, что всякий настоящий математик – платоник, ибо занят идеями, существующими до и вне объектов наблюдаемой природы. В целом это верно, но мы теперь знаем об абстрактных понятиях больше Платонаи потому оставаться в понятийных рамках платонизма не имеем права.

По Аристотелю, идея рода есть то общее, что имеется у всех предметов данного рода. Такое понимание идеи представляется мне дополнительным платоновскому – в том же смысле, в каком у Кантабыли дополнительны причинный и целевой подходы. В аристотелевском смысле вероятность-мера существует лишь потому, что существуют частоты, для которых она служит чем-то общим. С этой позиции реальнее частота.

Однако традиционное противопоставление ПлатонаАристотелюне представляется мне продуктивным. Даже если оставаться в рамках античной классики, то следует вспомнить ранних стоиков, у которых в центре теории познания было понятие каталепсис – цельное интуитивное схватывание сути познаваемого. (приведенный в п. 8-1.1 афоризм Линнея является указанием на каталепсис.)

Каталепсису нет аналога ни у Платона, ни у Аристотеля– первому оно не было нужно, поскольку идея не ухватывается, а попросту считывается умом, к этому годным, из мира идей; а для Аристотеляпознание было слишком логическим. Стоики на 2 тысячи лет обогнали свою эпоху – их каталепсис нашел аналог, по-видимому, лишь сто лет назад, в трудах логика и психолога Г. Фреге[Степанова, 1995, c. 59].

Вернемся к упомянутому в конце главы 5 " абстрактному двойнику", к тому, что одни считают первичной частоту, другие – меру. Теперь ясно, что здесь нет нужды принимать чью-то сторону, поскольку вероятность как меру удобно считать взаимодополнительной к вероятности, понимаемой как абстрактный предел частоты (со сделанными в п. 2-7 оговорками). Вероятность как инвариант некоторого событийного пространства, для которого сформулировано понятие равновозможности (вообще говоря, это — скрытая равновозможность) есть не более чем способ говорить об одном классе случайностей — о стохастичности. О ней можно говорить и иначе, как об устойчивой частоте.

С этой позиции, каталепсис явления " вероятность" состоит, по-моему, в интуитивном осознании двойственной сути вероятности. В тех явлениях, где можно придать этим словам аккуратный смысл, цитированные слова Кайбергаоб " абстрактном двойнике" получают реальный смысл: двойник действительно " ведет себя лучше" в том смысле, что сходится к пределу.

Как пишет конструктивист Н.М. Нагорный[1996, c. XI, XX], канторовские объекты существуют в мире идей, тогда как интуиционистские – в познающем субъекте. Если я это правильно понимаю, то теория множеств Канторавыступает как чистый платонизм, в отличие от скорее аристотелевской позиции интуиционизма. Интуиционисты (и особенно их радикальное крыло, конструктивисты – см. п. 6-5.1) видят одной из своих задач противостояние платонизму [Perspectives..., 1998, c. 129, 139, 245, 251]. Пусть в целом приветствовать это намерение трудно – мне платоновская основа математики несомненна, – но некоторый смысл в нем очевиден.

По-моему, приемлемое для огромного большинства решение лежит вне этой дилеммы и легко видно в плоскости стоицизма: континуум можно понять интуитивно, но не как совокупность точек (это ведет к противоречиям, вряд ли устранимым в принципе [Нагорный, 1996, c. XV-XVI]), а как непрерывную целостность; что касается находящихся в ней точек, то лучше всего понимать их множество по Мартин-Лёфу(" среда свободного становления"). Взаимодополнительность этих пониманий стала ясна мне в ходе общения с А.Н. Паршиным.