Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Краевые распределения и квази-гиперболы






Мир негауссовых случайностей более мягок и разнообразен, чем гауссовых, тут нет привычной физикам четкой воспроизводимости массовых опытов, поскольку нет устойчивых частот. Однако математическое описание возможно. Читая учебник Уиттла, довольно легко понять, что дело в симметрии и в экстремальности: тройная симметрия перемалывает любой набор суммируемых случайностей, ею обладающий, в одну случайность – гауссову, экстремальную (и, в частности, самую симметричную). Можно пойти и дальше: признать, что всякая устойчивость частот есть разновидность симметрии [Марков В.А., 1988, c. 50].

Случайности, не обладающие тройной симметрией, не обладают, за редкими исключениями, устойчивыми частотами. Но возникают ли при этом гиперболические плотности? Если все устойчивые плотности одновершинны, то с этого и надо начинать анализ вопроса: какие из реальных (наблюдающихся на практике) плотностей одновершинны? Увы, я таковых назвать не могу.

При исследовании несимметричных негауссовых плотностей мы вместо гипербол повсюду встречаем квази-гиперболы, отличающиеся от гипербол наличием горба или нескольких горбов посреди склона [Кудрин, 1991a, c. 16]. На рис. 13 приведено несколько примеров, из которых наиболее интересен график распределения химических элементов в Солнечной системе (рис. 13а [Озима, 1990, c. 15]). Нам важен не столько пилообразный характер кривой (он скорее говорит, что по каким-то физическим причинам надо рассматривать распределение четных и нечетных элементов порознь), сколько наличие трех горбов, из которых железо-никелевый наиболее выразителен.

На рис. 13б [Фуфаев, 2000, c. 44] на электротехническом материале видно, каким образом в руках исследователя возникает гипербола, которой сам материал, на мой взгляд, не дает (подробнее см. далее, п. 9-6). Наконец, рис. 13в, материал для которого взят из работ [Willis, 1922; Yule, 1924; Williams, 1964] (а распределение видов рукокрылых по родам подсчитано мною), показывает на биологическом материале, что мы имеем дело с квази-гиперболами.

Кочующие из книги в книгу гиперболы либо являются ранговыми распределениями(*), а не плотностями распределений, либо, если это плотности, то они получены путем недопустимого огрубления данных, обычного при использовании полулогарифмического масштаба, предлагаемого " для большей наглядности", поскольку все горбы на нем сглажены почти или вовсе начисто. Ранговое распределение по определению монотонно убывает и потому здесь нас интересовать не может. А вот монотонно падающие почти гиперболические плотности нам интересны. Будем называть их краевыми плотностями, а их функции распределения – краевыми распределениями. Возможно, что все они описывают системы с памятью о прошлых состояниях.

Немногими, кто, вопреки моде, продолжают чертить плотности в линейном масштабе, много лет являются теоретик техники Б.И. Кудрини его ученики – см. главу 9. Часто их данные ясны и без графиков. Таково распределение персонажей романа Михаила Булгакова" Мастери Маргарита" по частоте их упоминания:

число упоминаний 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

число таких лиц 201 90 34 19 9 4 3 1 3 4 4 3 1 2 3 1 1 2 1.

Далее каждая частота (число упоминаний) представлена не более чем одним персонажем [Кудрин, 1991, c. 253]. Последний микроподъем (двое упомянутых по 18 раз) неинформативен, зато подъем на частотах 9 – 15 являет собой явное отклонение от гиперболы.

Для сравнения – мой подсчет по " Словарю названий животных" (том " Млекопитающие") видов в родах отряда рукокрылых (летучих мышей), который содержит 899 видов в 173 родах:

число видов в роде 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

число таких родов 75 23 19 13 8 5 3 3 4 3 2 2 1 4 1.

Далее каждая частота (число видов) представлена не более чем одним родом. Здесь подъем относительно гиперболы (на частотах 9 – 14) не так ярок, но тоже являет очевидное отклонение от гиперболы.

За счет добавочной вершины (горба) краевая плотность является гиперболой лишь приближенно. Это отличает ее от устойчивых (по Леви) распределений, которые все одновершинны. Следовательно, краевые плотности сами по себе неустойчивы по Леви.

Это выглядит досадным неудобством, оплошностью природы, но если подумать, иначе и быть не могло: устойчивыми являются предельные распределения, мы же наблюдаем реальные феномены. И если гауссоида встречается на практике довольно часто, то это потому, что реальные суммы часто сходятся к нормальному закону довольно быстро и процесс этот, согласно ЦПТ, мало зависит от характера распределений слагаемых. В конце главы 3 говорилось также, что, вернее всего, случайности, порождающие гауссоиду, не только суммируются. Ни о чем подобном в мире неустойчивых частот пока не известно.

Однако краевые распределения тоже достаточно типичны. Они настолько типичны для больших систем, что этот факт нуждается в обосновании. В механике известно понятие " грубая система " (то же, что структурно устойчивая) – это система, не меняющая поведения при малом изменении параметров. В этом смысле системы, порождающие гауссову случайность, грубы, что и выражается в виде ЦПТ. Естественно допустить структурную устойчивость (грубость) краевых распределений, но в каком смысле? Ведь устойчивость по Левиявственно нарушается малым изменением показателя гиперболы. Хотя ныне данный смысл и неясен, но и сейчас можно довольно уверенно предположить, что всякое краевое распределение есть результат процесса более сложного, нежели суммирование независимых одинаково распределенных случайных величин.

Возможно, грубость краевых распределений будет доказана в форме какой-то предельной теоремы (ее можно будет назвать краевой предельной теоремой), но пока таковой нет, следует идти каким-то иным путем. Самый простой и очевидный путь – исследовать не предельное поведение, а конкретные текущие значения частот.

 

7-5. С предельными теоремами и без них
(анализ текущих значений)

В главе 3 мы видели, что сходимость к нормальному распределению, гарантируемая в силу ЦПТ, бывает иллюзорна. Таких примеров можно привести много, но не менее важно, что под сходимостью в ТВ понимают, как правило, совсем не то, что в математическом анализе, т.е. не приближение одной функции к другой (так называемая поточечная сходимость), а всего лишь сближение их по какой-то обобщенной величине, притом весьма нерегулярное (так называемая слабая сходимость). Например, к пределу может стремиться мат. ожидание или значение какой-то одной вероятности. В исследованиях негауссовых устойчивых законов идея слабой сходимости доминирует [Круглов, Королев, 1990], а ведь прикладник часто думает, что речь идет именно о поточечной близости случайных величин.

Кроме того, всегда ли надо искать какие-то предельные формулы, даже если они описывают важные нам величины? Хотя в самой ТВ господство идеи предельных теорем для сумм общепризнано (" Среди специалистов считается общепринятым, что предельные теоремы для сумм независимых случайных величин определяют лицо и выражают познавательную ценность современной теории вероятностей" [Круглов, Королев, 1990, c. 9]), однако при использовании вероятностных идей в практике обычно важны не пределы, а реальные значения средних величин за реальное число опытов. Если сходимость медленна и в ее ходе текущие значения средних и дисперсий сильно смещаются, поиск предельных значений для практики малоосмыслен. Если же и условия, в которых наблюдается массовое явление, то и дело меняются (таковы многие биологические и, в частности, все эволюционные задачи), то предельный подход просто бессмыслен.

Словом, основных изъянов теории, основанной на предельных теоремах, видится мне два – первый: анализ почти всегда ограничивается интегральной сходимостью вместо локальной; второй: предельная ситуация подается вместо анализа реального поведения реального объекта во времени. Как же быть? Если возможен прямой подсчет, то лучше его проделать. Приведу пример, показывающий возможность эффективного исследования текущих значений случайных величин.

Четверть века назад мне удалось таким путем выяснить все важные для моих тогдашних целей черты поведения случайных численностей клонов [Чайковский, 1977a, б]. Большинство из них совсем не видны из формул для предельных величин. Суть проделанного состоит в следующем.

В то время, как и сейчас, в математической генетике было принято оценивать качество генотипа по его селективной цености s, которая определяется так: 1+s – это среднее число потомков на особь на поколение. При s=0 ветвящийся процесс является критическим, а при s> 0 – надкритическим. Еще Фишерв 1922 г. показал, что предельном случае (бесконечное время) малое преимущество клона (0< s< < 1) гарантирует ему некоторую вероятность вытеснения конкурента, преимуществом не обладающего. Надо было исследовать ход процесса в биологически более реальных допущениях, и тут оказалось, что, вопреки Фишеру, выживание или гибель клона определяется не его селективной ценностью, а посторонними обстоятельствами, в частности, хаотичностью.

Первый подход [Чайковский, 1977a] состоял в качественном рассмотрении процесса конкуренции двух клонов как матричной игры – это позволило преодолеть трудность, связанную с тем, что генотип, удачный в одних ситуациях, неудачен в других. Приведу выдержку из Заключения данной статьи.

< < Следует признать, что биологически бессмысленно рассматривать постоянные селективные ценности s=const> 0. Следует признать, что s, там, где ее вообще можно ввести, есть функция многих переменных, способная менять знак как по ходу роста клона..., так и при повторной реализации одного и того же процесса.

Заметим, что даже в матричноигровой модели, где искусственно зафиксированы почти все параметры, успешность клона все-таки выражается не числом, а функциональной матрицей. Как известно, любая матрица А, составленная из действительных чисел, характеризуется единственным числом – ценой игры v(A) – задающим соотношение сил игроков игры А (см. любой учебник теории игр, например [Льюс, Райфа, 1961]); любая другая характеристика игры с помощью числа будет характеризовать не игру как таковую, а какой-то определенный способ играть в нее, поэтому универсальная характеристика конкуренции двух клонов должна основываться на цене игры... Однако цена игры реализуется непременно лишь в игре оптимальных игроков, т.е. игроков, знающих все элементы игровой матрицы и умеющих рассуждать за противника, тогда как у клонов просто нет средств для оптимального поведения: показано, что для нахождения оптимальных стратегий в игре, в которой игроком является однородный коллектив, члены коллектива должны обмениваться достаточно сложной информацией [Чайковский, 1971], что в нашем случае невозможно. Приходится признать, что в рамках модели не существует числа, характеризующего превосходство клона.

Впрочем, в поисках числа s нет необходимости, так как для выживания клону вовсе не нужно иметь высокого значения какой-либо средней величины, характеризующей скорость размножения, – ему необходимо и достаточно сохранить при всех t ненулевую численность> >.

Второй подход [Чайковский, 1977б] был мажорирующим – хотя перед этим было показано, что число s нельзя ввести содержательно, но это не мешает использовать идеологию селективных ценностей для отрицательных суждений, если сделать в модели все допущения односторонними. А именно – " желая доказать некоторый факт, будем делать только те упрощения, которые заведомо не благоприятствуют доказательству...; если факт удастся доказать в этих допущениях, то он заведомо верен и без них" (c. 1478). Доказательству же подлежал тот факт, что малых различий в селективных ценностях недостаточно для эффективного различения судеб их носителей.

Принято считать, что всякий обладатель положительного s рано или поздно вытеснит всех обладателей нулевого и отрицательных s, оказалось же, что разрастающийся и вымирающий клоны ведут себя слишком сходно в течение первой сотни поколений, так что судьбы их определяются отнюдь не их селективными ценностями. Это вызвано тем, что рассматриваемый ветвящийся процесс близок к критическому, а потому хаотическая компонента W (см. п. 6-3 и рис. 11) весьма нерегулярна.

Подход был чисто количественным: сравнивались судьбы клонов за первую сотню поколений. Выяснилось, что феномен неоднозначности частоты (компонента W) практически целиком определяет судьбу каждого клона (его выживание или гибель) в первые десятки поколений, определяет безотносительно к различиям в селективной ценности клонов. При этом почти все они вымирают. Тем самым, различие в селективных ценностях существенно лишь для тех клонов, которые выжили в этом неизбирательном (и практически – нестохастическом) случайном истреблении, затрагивающем подавляющее большинство клонов. Наоборот, в ходе первых десятков поколений в выгоде окажется тот клон, у кого меньше разброс численностей. Подробнее см. далее, п. 9-7. Всё это естественно приводит к той мысли, что в алеатике как целом место предельных теорем должно быть более скромным, чем в ТВ.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.