Память как источник неустойчивости частот

Приняв во внимание, что стохастичность связана с забыванием начальных условий, и глядя на ветвящиеся процессы (а они известны и физикам, и химикам, и биологам, и другим), можно допустить, что неустойчивые частоты – общее свойство систем, несущих в себе память о своем прошлом, о происхождении [Чайковский, 1990, с. 86]. В частности, несет ее всякий ветвящийся процесс. Иной вид памяти являет собой случайное блуждание, которого мы уже касались во Введении.

Если, бросая много раз идеальную монету, мы следим не за частотой гербов, а за превышением числа выпадений герба над числом выпадения цифры, то процесс можно представить как случайное блуждание по прямой, при котором каждый шаг делается направо или налево с равной вероятностью. При этом блуждающий объект как бы помнит часть истории своего блуждания, и память состоит в том, что его положение на прямой есть алгебраическая сумма всех предыдущих шагов (в этом отличие от частотного подхода, где фиксируется частное). В полном противоречии с обыденной интуицией, объект почти всегда будет находиться далеко от начала блуждания, и в итоге мы получаем весьма хаотичную величину, график одной из реализаций которой (10 тыс. шагов) изображен у Феллера[1964, c. 100] и частично воспроизведен на обложке читаемой вами книги.

Хотя Феллервыбрал «самый умеренный» из имевшихся у него графиков, мы с удивлением видим, что первые 500 шагов блуждание происходит почти исключительно на положительной полупрямой (превышение гербов), причем примерно первые 120 и последние 240 шагов из пятисот – только на ней. Наоборот, около 80 шагов (от 180 до 260) траектория колеблется около нуля. Но пересечения нуля в дальнейшем становятся всё более редкими (от 3 тыс. до 6 тыс. – ни одного).

Эта случайная величина не является устойчивой ни по Колмогорову, ни по Леви. Правда, с нею связана довольно вычурная величина, описываемая распределением Леви[Феллер, 1964, c. 102] (его плотность изображена ни рис. 12б (b=1) и является однохвостой, хотя и не монотонной), но это обстоятельство не должно вводить нас в заблуждение, поскольку не описывает самого блуждания.

Если само блуждание устойчивым распределением не описывается, встает вопрос – как его описывать. Основную информацию дает исследование «точек возврата» (точек, в которых траектория блуждания пересекает ось абсцисс, т.е., иными словами, моментов, когда доля гербов в точности равна 1/2). Точки возврата являют собой случайную величину, дискретное распределение которой задается формулой

z = p(r, 2n) = 2^{— (2n — r)}Cⁿ_2n—r ,

из которой видно – вероятность z того, что за время 2n траектория ровно r раз вернется к оси абсцисс, максимальна при r=o, r=1 и монотонно убывает при r> 1 [Феллер, 1964, с. 97; Колмогорови др., 1982, с. 89]. Тем самым, самые вероятные исходы блужданий – с одним пересечением или без единого пересечения, так что случайная величина, описывающая число возвратов неограниченно долгого блуждания, имеет монотонно падающую однохвостую плотность. Характер убывания весьма различен по r и по n, что видно из асимптотической формулы:

.

Как видим, при данной длительности блуждания n вероятность иметь число возвратов r очень быстро убывает с ростом r, что и было отмечено в начале Введения: начавший проигрывать проигрывает с большой вероятностью и дальше. Казалось бы, вероятность z должна расти хотя бы с ростом длительности блуждания n, однако она при этом тоже убывает, пусть и очень медленно. И вот итог: «Чем продолжительнее серия бросаний, тем реже возвращения в нуль» [Феллер, 1964, c. 98].

Приведенная асмптотическая формула фактически являет собой предельную теорему для блуждания по прямой. Она, как и теорема Кардано– Бернулли, может быть доказана чисто комбинаторно, т.е. из симметрийных соображений. Я намерен разобрать этот вопрос в работе [Чайковский, 2002], пока же замечу, что отмеченная неустойчивость частот отнюдь не говорит тут о выходе за рамки обычной ТВ, а является всего лишь итогом реализации простейшей марковской цепи (вероятности переходов для которой приведены у Феллера[1964, c. 370]).

Итак, введение памяти (марковости) в простейший гауссов (точнее, сходящийся к гауссову) процесс бросания монеты приводит к почти гиперболическому (по n) распределению для блуждания.

За последние 80 лет исследования в разных науках показали, что распределения, похожие на гиперболы, наблюдаются на столь различных объектах, что искать им частные объяснения вряд ли стоит. Наиболее общее понимание проблемы предложил Б.И. Кудрин, к работам которого мы обратимся в главе 9: квази - гиперболичность естественно возникает всюду, где есть нежесткая система со слабыми связями, являющая собой в каком-то смысле целостность.

Причина этой общности распределений пока неясна.