Четыре понимания вероятности у Якоба Бернулли

В начале XVIII века произошло рождение термина probabilitas в привычном нам смысле. Породил его Бернуллив своей знаменитой книге " Ars conjectandi", вышедшей посмертно в 1713 году.

Бернуллидал вероятности формальное определение, но оно туманно: вероятность есть " степень достоверности (gradus certitudinis) и отличается от нее как часть от целого"; до него Лейбницв письме 1678 года определил вероятность как степень возможности [Бернулли, 1986, c. 24, 96], и влияние Лейбницана Бернуллинесомненно.

Но на деле воспользоваться таким " определением" затруднительно, и далее оно автором не использовано. Фактически Бернулливвел вероятность не определением, а вербальным описанием. Подлинный смысл термина " вероятность" выясняется лишь по мере чтения книги Бернулли, и оказывается, что тот первый (да по сути и последний) попытался увязать в едином рассуждении четыре понимания вероятности:

моральное – как степень уверенности говорящего в своем мнении, которое он, вообще говоря, не готов считать истинным;

априорное (классическое) – как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов;

логическое – как степень подтверждения данного утверждения доводами или фактами;

статистическое (апостериорное) – как частоту появления данного события в неограниченно длинной серии испытаний.

Поскольку латинское " certitudo" означает как достоверность, так и уверенность, возник соблазн перевести бернуллиево определение так: вероятность есть " степень уверенности и относится к достоверности как часть к целому" [Реньи, 1970, c. 80], а с тем и отнести самого Бернуллик творцам морального понимания всякой вероятности. Несмотря на явное насилие над латинским текстом, отбросить эту линию мысли нельзя: Бернуллидействительно говорил обо всем вместе. Однако в разных местах книги он имел в виду разные понимания, и мы их можем разъединить.

Бернуллиясно разделил моральное и логическое (в нашем нынешнем смысле) понимания вероятности – повсюду в его рассуждениях логический аспект подчеркивается подбором данных в пользу одного из вариантов, который и объявляется " нравственно достоверным", причем вероятностный подход в этих местах текста отвергается(*). Наоборот, моральную вероятность (сравнение мнений) он так и оставляет в форме дроби: " Так, может случиться, что нечто имеет 2/3 достоверности, между тем как ему противоположное – 3/4, почему каждая из противоположных возможностей будет вероятной, и, однако, первая – менее вероятной... в отношении 2/3 к 3/4 или 8 к 9" [Бернулли, 1986, c. 38].

Моральную и логическую вероятности часто смешивают, поэтому нужно пояснение. Моральная вероятность исторически старше и в быту важнее; в ходе исследования она может меняться, но все-таки ее можно грубо оценить дробью p (0 < p < 1); этим она отчасти сходна с априорной и статистической вероятностями. Наоборот, логическая вероятность, если накапливать данные за и против утверждения, для проверяемой гипотезы стремится к нулю или к единице – гипотеза отвергается или принимается. (Недаром в курсе Б.В. Гнеденко[1961, c. 20] логическая вероятность вынесена из общего списка.) Сохранить значение p (0< p< 1) она может только в том случае, если гипотеза оказалась непроверяемой. Тогда логическая вероятность действительно смыкается с моральной.

Различия этих двух вероятностей подробно исследовали польские методологи Стефан Амстердамскийи Ян Ежи Славяновский[Закон..., 1967]. Последний писал: " Если бы мы доказали, какую историю действительно имеет система, то... мы начали бы использовать особое распределение, приписывающее вероятность равную единице этой истинной истории и равную нулю – всем другим" [Закон..., 1967, c. 330].

Приведу близкий мне пример: утверждение " Гомервероятно был неграмотен" носит моральный характер (доводов " за" больше, чем доводов " против", но последние отбросить нельзя, и они никогда не исчезнут), а утверждение " Описанная Гомером микенская культура вероятно имела письменность" – логический (хотя единственное у Гомераописание письма расплывчато и скорее говорит о пиктограмме, а не о письменности, т.е., согласно старым представлениям, 0< p< 1/2, однако микенская письменность в ХХ веке была обнаружена археологами, и утверждение стало достоверным, т.е. теперь p = 1).

В отношении априорного понимания Бернулливысказался совершенно определенно: " Я предполагаю, что все случаи одинаково возможны... Иначе необходимо уравнять их и вместо каждого легче встречающегося случая считать столько других, насколько он легче имеет место, чем прочие". Он полагал, что такую процедуру можно провести всегда, для любых случайностей [Бернулли, 1986, c. 34]. Подробнее см. след. пункт.

Столь же определенно выразился Бернуллии об апостериорном понимании: " И что не дано вывести a priori, то, по крайней мере, можно получить a posteriori, т.е. из многократного наблюдения результатов в подобных примерах. Потому что должно предполагать, что некоторое явление впоследствии в стольких же случаях может случиться или не случиться, в скольких при подобном же положении вещей раньше оно было отмечено случившимся или неслучившимся" [Бернулли, 1986, c. 41].

Бернуллибыл уверен (как и многие уверены теперь), что все 4 понимания относятся к одному и тому же акту(*). Научную дисциплину, призванную изучать это явление, Бернуллиназвал " Искусство предположений, то есть угадывания" (Ars conjectandi sive stochastice), а главной ее целью считал нахождение вероятностей [Бернулли, 1986, c. 27, 89]. Тем не менее, сам термин вероятность стал центральным в математике случайного только после классического труда Пьера-Симона Лапласа[Laplace, 1812]. Лапласничего не добавил к пониманию вероятности (по сравнению с четырьмя пониманиями Бернулли), но именно после него соответствующая наука называется теорией вероятностей.

Эти несколько экскурсов в этимологию были необходимы потому, что всякое обращение к трудам прошлого (а мы будем совершать их часто) осмысленно лишь при ясном понимании тогдашнего значения слов.