Вероятность у Лейбница

История ТВ много раз описана, но обычно из внимания выпадает тот факт, что в годы ее становления шли споры о сути вероятности, позже на двести лет заглохшие. Главной фигурой в них был Готфрид Вильгельм Лейбниц, великий философ и математик.

В те годы широко обсуждалась знаменитая со Средних веков дилемма " Буриданов осел": находясь на равных расстояниях от двух одинаковых охапок сена, осел, якобы, должен умереть с голоду, ибо не имеет оснований для выбора между ними. Жан Буридан, французский физик и логик XIV века, которому традиция приписывает эту дилемму (в его трудах ее нет), жил в аристотелевом мировоззрении, где каждый акт должен иметь свою причину, и дилемма указывала ограниченность этого мировоззрения, не давая, разумеется, реальной альтернативы.

Характерно, что великий новатор Лейбниц, нащупывая пути к созданию ТВ, продолжал рассуждать по Аристотелю; отрицая реальную возможность упомянутой дилеммы, он писал: " Универсум не имеет центра, и его части бесконечно разнообразны; следовательно, никогда не будет случая, когда всё на обеих сторонах станет одинаковым и будет производить на нас равное влияние" (Письмо к Косту" о необходимости и случайности"). То есть ослы якобы должны всегда выбирать правую охапку, если она чем-то хоть чуть лучше.

Конечно, на деле ослы себя так не ведут. Тем не менее, именно Лейбницввел в оборот принцип равновозможности – основу ТВ [Hacking, 1975]. (Принцип лёг и в основу того, что много позже было названо статистическим мировоззрением.) С его позиции мы решаем дилемму просто: в массовом опыте около половины ослов выберет правую охапку, а оставшаяся часть ослов – левую. Мы настолько уверены в исходе, что сам опыт нам даже неинтересен. Но для Лейбницабыло иначе, причем для понимания его позиции надо обратиться к французскому оригиналу.

В 1695 г. философ-публицист Пьер Бейль, рассуждая о " буридановом осле", писал: " Существует по крайней мере два пути, которыми человек может освободиться от обмана равновесия. Первый... состоит в прельщении себя приятной мечтой, будто каждый есть владыка самого себя и не зависит от объектов... При этом человек будет поступать следующим образом: хочу предпочесть это тому, потому что так мне хочется". Тут Лейбницвозражал: такие слова " уже выражают склонность (le penchant) к нравящемуся предмету" (Теодицея, 306), а не равновесие.

" Второй путь – тот, когда судьба или случай, [т.е.] жребий(*) решит дело" – писал Бейль, но и это не нравилось Лейбницу: " Это подмена вопроса, ибо тогда решать будет не человек" (Теодицея, 307 [Leibnitz, 1734, c. 178]). Вот первый раз, когда случайность как бросание жребия противопоставлена (пусть здесь, у Лейбница, и смутно) случайности как свободному выбору. О нем речь пойдет в главе 7.

Не вдаваясь в существо спора Бейляи Лейбница, отметим, что оба, как бы вторя Николаю Кузанскому(см. гл. 1), противопоставляли случайности предрасположенность (склонность). Интерес к ней спорадически возникал и позже, а в ХХ веке Карл Попперпрямо предложил понимать вероятность как предрасположенность. (См. гл. 5.

Занимаясь вероятностями с юности [Курно, 1970, c. 41], Лейбниц" не сделал серьезного формального вклада в теорию вероятностей, но имел длительный и глубокий интерес к проблеме. Он был, несомненно, первым философом вероятности(*)... пытался развить арифметику вероятности, не основанную на азартных играх и тем самым потенциально более общую в прикладном смысле" [Hacking, 1975, c. 57].

В 1704 г. Лейбницписал, что при анализе как игр, так и смертности наблюдаются те же принципы, что и в финансовых задачах: " Основой всех этих теоретических построений является так называемый простаферезис, т.е. берут среднее арифметическое между несколькими одинаково приемлемыми предположениями. Наши крестьяне, следуя природной математике, уже давно пользуются этим методом. Когда нужно, например, продать... кусок земли, они составляют три группы оценщиков... [и] берут сумму третьих частей каждой оценки. Это аксиома: aequalibus aequalia – равно принимать в расчет равноценные предположения. Но когда предположения неравноценны, то их сравнивают между собой.... Я уже не раз говорил, что нужен новый раздел логики, который занимался бы степенями вероятности..." [Лейбниц, 1983, с. 478–479].

При внимательном чтении этого пассажа (и других, близких) видно, что кроме априорного и апостериорного, у Лейбницасмутно обрисованы еще два понимания вероятности – моральное (сравнение мнений) и неотличимое тут от него логическое (степень подтверждения). Лейбницполагал, что во всех случаях можно говорить о некоей единой вероятности, которой должен быть посвящен " новый раздел логики".

Легко видеть, что " аксиома aequalibus aequalia" – это аксиома равновозможности, основа нашей нынешней ТВ. В нынешних курсах ТВ ее упоминают только в связи с монетами, костями и другими внешне симметричными атрибутами, здесь же она впервые высказана в более общем плане. Еще более общий вид придал ей, как увидим далее, знаменитый математик Якоб Бернулли(он состоял с Лейбницем в переписке). Вот он – " новый раздел логики": равновозможности введены там, где их не видно, и положены в основу новой науки. Это позволило получить ее основной результат, известный в наше время как закон больших чисел. Мы им займемся в главе 3.