Талант и бездарь, или о пределах статистики

Но если так, то встает вопрос: с какими случайностями мы имеем дело обычно? Чаще всего мы этого не знаем. В учебниках неизменно пишут во введениях только одно – что «опыт показывает» устойчивость частот, а того, что он сплошь да рядом этого не показывает, вы там не прочтете. (Например, можно ли говорить о вероятности того, что завтрашний день будет солнечным?)

А вопрос более чем важный, от него зависит вся наша идеология – не только в науке, но и в жизни вообще: когда мы вправе рассуждать вероятностно и доверяться обычной математической статистике (МС), а когда нет? Мы часто не замечаем, что решаем судьбу, свою и окружающих, на основе жестких статистических установок.

Например, господствующий на Западе (и с трудом приживающийся у нас) суд присяжных основан на простой и необсуждаемой идее – если 12 человек пришли к единому выводу, то вероятность ошибочности этого вывода пренебрежимо мала; сама же эта идея основана на неявной уверенности, что все 12 принимают решение независимо – как друг от друга, так и от органов власти. Литература о том, что эта уверенность ошибочна, огромна.

Есть, однако, области, где статистическая природа явлений и принимаемых решений столь же существенна, но почти никому не известна. С тех пор, как в 1939 году французский математик Поль Левидоказал неизбежность огромных отклонений при случайном блуждании, математики не раз обращали внимание на статистическую природу казалось бы вполне детерминированных явлений, но их никто не хочет слушать. Вот один пример, который особо задел меня как преподавателя.

В любой группе из примерно 30 учеников (обычный школьный класс) найдется отличник, почти или вовсе не имеющий четверок, и столь же обычен безнадежный двоечник, почти или вовсе не получающий даже троек. Первому гарантированы поощрения, дальнейшее обучение и, как правило, легкое укоренение в жизни; второго, наоборот, ждут сплошные беды и, довольно часто, встреча с психиатром или с тюрьмой. Каково же было мое удивление, когда мне стало известно, что и «отличник», и «двоечник» практически всегда найдутся в модельном «классе», где «отметки» поначалу достаточно долго выставляются путем бросания монеты, а затем итоги начинают суммироваться.

В самом деле, рассмотрим описанное выше случайное блуждание как накопление учеником отметок «сдал» (выигрыш) – «не сдал» (проигрыш). Очевидно, что регулярное и значительное превышение среднего (нулевого) уровня должно быть столь же типично, как и регулярное отставание, и в «классе» оба варианта почти наверняка будут представлены. Так, после пяти случайных испытаний среди 32-х «учеников» в среднем один получит все 5 выигрышей, а один – 5 проигрышей. Это еще не крайние «отличник» и «двоечник», но поле для их появления уже задано. Стоит добавить в модель одно условие: что регулярное превышение повышает вероятность дальнейшего успеха, а регулярное отставание – неуспеха, и крайние варианты со временем обеспечены. На практике оно возникает почти неизбежно, поскольку преподаватели склонны суммировать прежние исходы и затем руководствоваться этим при дальнейших оценках.

Что тут можно поделать? Очевидно, что система обучения должна пресекать случайные блуждания отметок, регулярно возвращая учетную ведомость к нулю. Сам я для этой цели стараюсь придерживаться нескольких твердых правил: не спрашивать параллельных преподавателей о двоечниках, пока мой курс не окончен; не занижать отметок при сдаче задолженностей, а при сомнении – завышать; ставить отметку в ведомость и лишь потом раскрывать зачетную книжку сдающего и т.д.

Вообще же очевидно, что всюду, где содержится суммирование исходов (во всевозможных матчах вроде первенства мира по шахматам, рейтингах и подведениях итогов), мы обсуждаем не столько способности и достижения участников, сколько таблицы случайных чисел, причем с неустойчивыми частотами.

Впрочем, всё это частности. Главное же видится в оценке места статистики в наших суждениях. Тут мне больше всего нравится тезис: «Статистике часто принадлежит первое слово, но последнее – никогда», к которому мы еще обратимся. Иными словами, статистика может давать пищу для размышлений, но не выводы.