Задания контрольной работы № 2

В задачах 1-10 найти общие или частные решения уравнений первого порядка: а) с разделяющимися переменными; б) линейных.

1. а) y’-xy²=2xy; б) y’x-y=x²cosx, y(π /2)= π /2.

2. а) xy’+y=y², y(1)=1/2; б) y’x·lnx+y=2x.

3. а) y’=cos(y-x); б) y’x+2y=x⁴, y(1)= 7/6.

4. а) (x+2y)y’=1, y(0)=-1; б) y’x+x²+xy=y.

5. а) y’= ; б) y’+ytgx=1/cosx, y(0)=0.

6. а) y’ctgx+y=2, y(0)=-1; б) y’+2xy=x .

7. а) y’-y=2x-3; б) y’+y/x=2lnx+1, y(1)=1.

8. а) (x²-1)y’+2xy²=0, y(0)=1; б) y=x(y’-xcosx).

9. а) x²y’-cos2y=1; б) x(y’-y)=e^x, y(1)=e.

10. а) e^-y(1+ y’)=1, y(0)=-1; б) y’sinx+ycosx=e^x.

В задачах 11-20 найти решение а) уравнения, допускающего понижения порядка; б) линейного неоднородного уравнения.

11. а) 2y³y”=-1; б) y”-4y’+4y=x².

12. а) y”+y’²=1; б) y”-9y=e^3x cosx.

13. а) xy”+y’=0; б) y”+y’-6y=xe^2x.

14. а) yy”-y’²=0; б) y”+y’-2y=8sin2x.

15. а) yy”+y’²=0; б) y”-2y’-3y=e^4x.

16. а) yy”=y’(1+y’); б) y”+y=4xe^x.

17. а) 2yy”+y’²=0; б) y”-3y’+2y=xcosx.

18. а) y³y”-1=0; б) y”-2y’+y=6xe^x.

19. а) y”+y’²=2e^-y; б) y”+ y=cosx.

20. а) yy’+y’³=y’²; б) y”+3y’-4y=xe^-x.

В задачах 21-30 найти решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.

21. y”+3y’+2y=(e^x+1)^-1. 26. y”+4y=1+ctg²x.

22. y”+y=cosec x. 27. y”+4y’+4y=e^-2x lnx.

23. y”+2y’+y=(xe^x)^-1. 28. y”-2y’+y=x^-2 e^x.

24. y”+4y=2tgx. 29. y”-4y’+5y= .

25. y”+2y’+y=3e^-x . 30. y”-2y=4x² .

В задачах 31-40 решить систему дифференциальных уравнений путем исключения неизвестных и матричным способом.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

В задачах 41-50 исследовать на сходимость числовые ряды.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

В задачах 51-60 найти область сходимости степенного ряда:

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

В задачах 61-70 разложить в ряд Тейлора по степеням (х-х₀) функции:

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

В задачах 71-80 вычислить интеграл с точностью до ε, пользуясь разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

В задачах 81-90 разложить в ряд Фурье функцию f(x), определенную в интервале (-π; π) следующими условиями:

81. f(x)=-π /4 при -π < x< 0; f(x)=π /4 при 0< x< π.

82. f(x)=|x| при -π < x< π.

83. f(x)=-(π +x)/2 при –π < x< 0; f(x)=(π -x)/2 при 0< x< π.

84. f(x)=|sinx| при –π < x< π.

85. f(x)=x при -π < x< π.

86. f(x)=-cosx при -π < x< 0; f(x)=cosx при 0< x< π.

87. f(x)=0 при -π < x< 0; f(x)=1 при 0< x< π.

88. f(x)=0 при -π < x< 0; f(x)=sinx при 0≤ x< π.

89. f(x)=|cosx| при -π < x< π.

90. f(x)=sin(x/2) при -π < x< π.

Вопросы к экзамену

1. Функции нескольких переменных (основные понятия). Частные производные 1-го порядка. Дифференциал функции. Пример.

2. Дифференцирование сложных функций нескольких переменных. Неявные функции и их дифференцирование. Примеры.

3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Примеры.

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Примеры.

5. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля и его свойства. Примеры.

6. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Примеры.

7. Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

8. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат. Примеры.

9. Применение двойного интеграла к вычислению площади плоской области, объема. Примеры.

10. Тройной интеграл. Его свойства и применение. Примеры.

11. Криволинейный интеграл 1-го типа (по длине дуги). Свойства и применение. Примеры.

12. Криволинейный интеграл 2-го типа (по координатам). Свойства и применение. Примеры.

13. Алгебраическая форма комплексного числа (определение, операции). Комплексная плоскость. Решение квадратных уравнений во множестве комплексных чисел.

14. Тригонометрическая форма комплексного числа. Показательная форма. Действия над числами, заданными в тригонометрической и показательной формах.

15. Извлечение корня из комплексного числа. Решение уравнений вида хⁿ=а.

16. Дифференциальные уравнения (определение, общее и частное решения). Уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения.

17. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка: у⁽ⁿ⁾=f(x), F(x, y’, y”)=0, F(y, y’y”)=0.

18. Понятие о линейном дифференциальном уравнении. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения. Определитель Вронского.

19. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

20. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью: f(x)=e^ax(P_n(x)cos(bx)+Q_m(x)sin(bx)).

21. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Методы их решения.

22. Числовые ряды (основные понятия, необходимые условия сходимости ряда).

23. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признак Даламбера.

24. Ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Исследование обобщенного гармонического ряда .

25. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости.

26. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.

27. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.

28. Разложение в ряд Маклорена функций exp(x), sin(x), cos(x).

29. Тригонометрические ряды Фурье в интервале (-p; p).

30. Ряды Фурье в произвольном интервале (). Ряды Фурье для четных и нечетных функций.