Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго и n-го порядка.

[2], гл.I, §3.

В задании 2а) контрольной работы №2 рассматриваются дифференциальные уравнения вида F(x, y', y'')=0 и F(y, y', y'')=0. В первом случае порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящих в уравнение, т.е. сделав замену z = y'. Во втором случае порядок уравнения можно понизить, взяв за новое независимое переменное у, а за неизвестную функцию y'=p(y).

Пример. Решить уравнение

yy”=y’²-y’³.

Решение. В уравнение не входит х. Полагаем y'=p(y). Тогда

Подставляя y'=p и y''=p'p в уравнение, получим

yp'p=p²-p³.

Порядок уравнения понижен.

Пусть р≠ 0. Тогда получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

.

Решив полученное уравнение, найдем . Следовательно, . Из этого уравнения получим

у+C₁∙ ln|y|=x+C₂.

Если р=0, т.е. y'=0, то получаем решение у=С.

Ответ: у+С₁ln|y|=x+C₂; y=C.