Тема 1. Двойной интеграл

Основные понятия и определения. Геометрический и физический смыслы двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойного интеграла.

[2], гл.II, §7.

Решение заданий 5 и 6 контрольной работы №1 следует начинать с построения области интегрирования. В задании 5 в зависимости от порядка интегрирования (в начале по у, затем по х или наоборот) вычисление двойного интеграла сводится к вычислению одного или двух двукратных интегралов вида

или

каждый из которых есть результат последовательного вычисления двух обыкновенных определенных интегралов. При этом значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

Рассмотрим пример. Вычислить двойной интеграл , если область D – треугольник, ограниченный прямыми х=0, 2у-х=0, х+у=3.

Если в начале интегрировать по у, а затем по х, то двойной интеграл по области D выражается одним двукратным интегралом

Вычисляя двукратный интеграл, получим:

Если интегрировать в другом порядке – сначала по х, а затем по у, необходимо разбить область интегрирования прямой у=1 на две части, так как правая линия границы состоит из двух участков, которые имеют различные уравнения: х=2у и х=3-у. Вследствие этого вычисления несколько усложняются:

В задании 6 область интегрирования представляет собой часть (или части) круга или кольца. Для преобразования двойного интеграла, отнесенного к прямоугольным координатам, в двойной интеграл в полярных координатах нужно в подынтегральном выражении прямоугольные координаты заменить полярными: х = r∙ cosj, y = r∙ sinj, а вместо dxdy подставить rdrdj. При этом уравнения линий, ограничивающих область интегрирования, также преобразуются к полярным координатам. Например, полярное уравнение окружности х² + у² = R² – r = R, 0 £ j < 2p; полярное уравнение отрезка прямой х = а или у = b − r = а/cosj или r = b/sinj соответственно (j₁≤ j≤ j₂).