Исследование простейшей вариационной задачи на сильный экстремум. Поле экстремалей.

Алгоритм исследования:

1. Найти допустимые экстремали.

Найти решения уравнения Эйлера, удовлетворяющим заданным концам.

2. Для каждой допустимой экстремали проверить необходимые и достаточные условия локального экстремума 2ого порядка.

2.1 Проверить выполнение условия Лежандра:

А) Если условие Лежандра не выполнено, т.е. функция знакопеременна на данном отрезке, то не выполнено условие слабого (сильного) экстремума.

Б) Если выполнено условие Лежандра:

то х можно подозревать на точку слабого (сильного) локального экстремума.

В) Если выполнено усиленное условие Лежандра – переходим к проверке условия Якоби.

2.2 Записать уравнение Якоби

и решить его с начальными данными

Если при выполнении усиленного условия Лежандра условие Якоби не выполнено, то не выполняется необходимое условие, след-но х не доставляет локального минимума.

Если при выполнении усиленного условия Лежандра выполнено усиленное условие Якоби, то выполнено достаточное условие слабого минимума, и

2.3 Проверяем на глобальный экстремум.

Вычисляем (вместо x’ подставляем x’ + h’)

Поле экстремалей.

Пусть у нас есть семейство { простых дуг и односвязную область D, обладающие след. св-вами:

1. Концы дуг семейства { принадлежат границе D.

2. Через каждую точку D проходит одна и только одна дуга семейства.

При этих условиях рассматриваемое семейство { образует поле и это поле покрывает область D. Значит это поле назовем полем экстемалей.

Поля экстремалей бывают: собственным, центральным, полем для функционала.