Предмет методов оптимизации. Классификация экстремальных задач.

Методы оптимизации - раздел математики, в котором анализируются и решаются экстремальные задачи (задачи минимизации и максимизации функционалов на множествах конечномерных или бесконечномерных пространств).

Оптимизационными задачами в математике называют задачи на максимум или минимум (оптимум) функций по переменным со значениями из заданных множеств.

Экстремальная задача (P) — это задача нахождения минимума функции f() при условии, что где = (x1, x2,..., xn) — вектор переменных, а f — целевая функция задачи. Условия , i = 1, 2,..., m, — называются ограничениями задачи.

Любой вектор , удовлетворяющий ограничениям задачи, называется допустимым решением задачи. Обозначим — множество допустимых решений задачи P.

Любое допустимое решение задачи, на котором достигается минимум целевой функции f на множестве Q(P), называется оптимальным решением (глобальным минимумом).

Приведение к экстремальной задаче:

1. Ограничение-равенство g(x) = 0 эквивалентно двум неравенствам: g(x) 0 и − g(x) 0.

2. Задача максимизации функции g на множестве Q сводится к задаче минимизации функции f = − g на этом же множестве.

Классификация задач:

1. В зависимости от природы множества S задачи оптимизации классифицируются как:

· Дискретные – множество S конечно или счетно;

· Целочисленные - ;

· Непрерывные - ;

· Бесконечномерные – S подмножество гильбертова пр-ва.

2. Если множество S совпадает с основным пространством , а ограничения ϕ i отсутствуют, то задачу P называют задачей безусловной оптимизации. В противном случае говорят о задаче условной оптимизации.

3. Если принять во внимание свойства целевой функции f и ограничений ϕ i, то возникает более тонкое деление конечномерных экстремальных задач на классы:

· Линейное программирование

· Дискретное программирование

· Выпуклое программирование

· Нелинейное программирование

· Вариационное исчисление

· Оптимальное управление