Электростатическое поле

Цель. Изучить величины, характеризующие электростатическое поле, и связи между ними. Изучить методику расчета электростатического поля и методику расчета емкости электротехнических установок.

7.1. Задание по самоподготовке

1. Изучить теорию электростатического поля по учебнику [2] § 19.1…19.22, 19.26…19.29, [4] § 1.2, 3.5.

2. Ознакомиться с методикой расчета поля и емкости в п.7.2 и в примерах п. 7.3 данного пособия. Решить задачи из п.7.4.

3. Ответить на контрольные вопросы п. 7.5.

7.2. Методические указания

Основная векторная величина, характеризующая электростатическое поле, напряженность определяется силой , действующей со стороны поля на единицу положительного пробного заряда, помещенного в данную точку поля.

.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов определяется законом Кулона

.

Потенциал электрического поля

,

где – вектор элемента пути интегрирования; A – постоянная.

Разность потенциала между точками А и В:

.

Связь между напряженностью электрического поля и электрическим смещением определяется выражением ,

где – относительная диэлектрическая проницаемость; – электрическая постоянная, = 8, 85 · 10^-12 Ф/м.

Теорема Гаусса в интегральной форме , если среда однородна, то

.

Энергия электрического поля

.

Емкость двух проводящих тел

.

Энергия конденсатора

.

7.3. Примеры

7.3.1. Определить напряженность поля в точках a, b, c и силу, которая действует в вакууме на каждый из трех точечных зарядов q_a, q_b, q_c, находящихся на расстоянии друг от друга R = 3 мм, q_a = q_b = q_c = 15·10^-12 Кл (рис. 7.1)

Рис. 7.1

Решение

Точка а находится в поле точечного заряда q_b и в поле точечного заряда q_c. Поэтому .

Аналогично: , .

.

В/м.

В/м; .

Н; .

7.3.2. Заряд Кл равномерно распределен на поверхности металлического шара с радиусом м. Шар находится в воздухе, Ф/м. Найти радиусы эквипотенциальных поверхностей, потенциалы которых отличаются на 10 В.

Рис. 7.2

Решение

Согласно теореме Гаусса .

Так как векторы и радиально направлены, то скалярное произведение . Кроме того, напряженность по величине на поверхности сферы радиуса R, по причине пространственной симметрии, будет одинаковой и поэтому она может быть вынесена за знак интеграла

, , .

Найдем потенциал точки на расстоянии R от центра шара:

.

Если , . Следовательно А = 0. Эквипотенциальной поверхностью будет сфера радиуса R.

Найдем радиус эквипотенциальной поверхности, потенциал которой меньше потенциала поверхности металлического шара на 10 В.

.

R ₂ найдем из условия, что В, R ₂ =1, 33 · 10^-3 и т. д.

7.3.3. Найти напряженность поля, электрическое смещение, емкость сферического конденсатора. Определить максимально допустимое напряжение, которое может быть приложено к конденсатору при запасе электрической прочности не менее 5. R ₂ = 2, 72 см, R ₁ = 1 см, диэлектрик – конденсаторная бумага , пробивная напряженность Е _пр= 2, 5·10⁸ В/м (рис. 7.3).

Рис. 7.3

Решение

Поле сферического конденсатора аналогично полю точечного заряда, расположенного в центре сферы. Основываясь на теореме Гаусса , получим

, .

,

где А – постоянная.

Напряжение между электродами

,

eмкость Ф.

Напряженность Е максимальна при R = R ₁: .

Максимальное напряжение .

Учитывая пятикратный запас электрической прочности, максимальная напряженность должна быть в 5 раз меньше пробивной напряженности:

.

кВ.

7.3.4. Найти емкость и энергию электрического поля плоского конденсатора, подключенного на постоянное напряжение U = 1000 В. Площадь обкладок S = 40 см², расстояние между ними d = 2 мм, диэлектрик между обкладками – воздух. Как изменится емкость и энергия, если пространство между обкладками заполнить трансформаторным маслом , при этом конденсатор во время заполнения а) остается присоединенным к источнику напряжения; б) отсоединен от него.

Решение

Пространство между обкладками заполнено воздухом

Ф,

Дж.

Пространство между обкладками заполнено трансформаторным маслом, .

В первом случае, когда напряжение остается неизменным.

Ф,

; Дж; .

Емкость и энергия электрического поля возросла в раз.

Во втором случае заряд Q на обкладках конденсатора остается неизменным.

, , ,

; Дж.

Емкость возрасла в раз.

Энергия уменьшилась в раз. Энергия израсходовалась на нагрев масла.

7.3.5. Найти силу взаимодействия двух пластин плоского конденсатора площадью S = 20 см² при условии, что пластины были подсоединены к источнику постоянного напряжения U = 5 кВ при расстоянии между пластинами d = 3 мм, а затем источник был отключен. Диэлектрик – масло .

Решение

Так как источник постоянного напряжения отключен, то работа по перемещению пластин производится силами поля, то есть за счет уменьшения энергии поля: , х – расстояние между пластинами.

7.3.6. Определить энергию электрического поля уединенного металлического шара радиусом а = 2 мм, который находится в воздухе и потенциал которого В (полагая на бесконечно большом расстоянии R).

Решение

Шар не присоединен к источнику. Поэтому его заряд , потенциал . При , , следовательно А = 0. Заряд шара . Напряженность поля , смещение .

Плотность энергии электрического поля на расстоянии R.

.

Энергия, заключенная в стенке сферической оболочки радиуса R и толщиной стенки dR.

.

Вся энергия

7.4. Задачи для самостоятельного решения

7.4.1. Две одинаковые заряженные частицы находятся в вакууме на расстоянии 5 см друг от друга. Заряд каждой частицы равен 2 · 10^-10 Кл. Найти силу взаимодействия этих зарядов.

Ответ: 1, 44 · 10^-7 Н.

7.4.2. В электрическом поле заряженной оси напряженность в точке р равна 500 В/м. Найти напряжение между точками m и n.

Ответ: U_mn = 110 В.

Рис. 7.4

7.4.3. Найти емкость плоского конденсатора с двухслойным диэлектриком, если толщина слоев d ₁ = 1 мм, d ₂ = 2 мм, площадь обкладок см², диэлектрики: конденсаторная бумага и кабельное масло .

Ответ: 7, 5 пФ.

7.4.4. Определить емкость и заряд приходящийся на 1 км двухпроводной линии. Радиус проводов R ₀ = 3 мм. Расстояние между осями проводов d = 0, 3 м. Линия находится под напряжением U = 1000 В.

Ответ: 6, 02 · 10 ^-9 Ф/км. 6, 02 · 10^-6 Кл/км.

7.5. Контрольные вопросы

1. Как определяется значение напряженности электрического поля?

2. Как определяется потенциал электростатического поля?

3. Что такое эквипотенциальные линии и линии вектора напряженности электрического поля?

4. Как определяется емкость между двумя проводящими телами?

5. Как находится энергия электрического поля?