Образцы решения задач

Издание АГУ Барнаул 2000

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ ”ТЕОРИЯ ПОЛЯ’’

: для студентов 2 курса

физического факультета. — Барнаул: изд. АГУ, 2000.

ПЕЧАТАЕТСЯ

по решению Совета математического факультета и

методической комиссии МФ

Составители к.ф.–м.н., доцент Гончарова О. Н.,

доцент Саженкова Т. В.

Рецензент к.ф.-м.н., доцент Семенов С. П.

План издания УМД 2000г, п. 41

Алтайский государственный университет, 2000

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1. Дать определения:

а) поля,

б) скалярного поля,

в) векторного поля,

г) функции поля (здесь и определение векторной функции нескольких действительных переменных),

д) линии уровня,

е) поверхности уровня,

ж) производной скалярного поля по направлению в этом поле.

2. Рассказать:

а) о декартовой системе координат,

б) о цилиндрической системе координат,

в) о сферической системе координат,

г) о связи между декартовыми координатами точки и ее цилиндрическими, сферическими координатами,

д) о связи единичных векторов, направленных вдоль координатных линий в сторону возрастания соответствующей координаты, в цилиндрической и сферической системах координат с единичными векторами .

3. Знать выражение оператора Гамильтона в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

4. Дать определение дифференциальных операций 1-го порядка: градиента, дивергенции, ротора в скалярном и векторном полях с помощью оператора .

5. Знать метод получения выражения для в цилиндрических и сферических координатах.

6. Дать определение дифференциальных операций 2-го порядка в скалярном и векторном полях с помощью оператора (здесь и определение оператора Лапласа).

7. Знать связь между дифференциальными операциями 2-го порядка.

8. Знать метод получения выражений для оператора Лапласа в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

9. Знать формулы для вычисления интегралов:

а) криволинейного 1-го и 2-го рода путем сведения к определенному интегралу,

б) поверхностного 1-го и 2-го рода путем сведения к двойному интегралу.

10. Доказать теорему об условиях независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования, соединяющему две заданные точки.

11. Доказать теорему Стокса (о связи криволинейного интеграла 2-го рода по гладкому замкнутому ориентированному контуру и поверхностного 2-го рода по гладкой ориентированной поверхности, натянутой на этот контур).

12. Доказать теорему Остроградского (о связи поверхностного интеграла 2-го рода по гладкой ориентированной поверхности и тройного интеграла по области, ограниченной этой поверхностью).

13. Дать определения:

а) циркуляции векторного поля,

б) потока векторного поля.

14. Знать методы вычисления циркуляции и потока непосредственно по формулам Стокса и Остроградского, соответственно.

15. Дать инвариантные определения .

16. Указать связь между и .

17. Дать определения:

а) потенциального векторного поля,

б) соленоидального векторного поля,

в) безвихревого векторного поля,

г) гармонического векторного поля.

18. Привести примеры этих полей.

19. Дать определение источников и стоков векторного поля.

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР А. Найти величину и направление градиента функции в точке M(0, 0, 0).

РЕШЕНИЕ. Функция определяет скалярное поле (в нем введена декартова система координат). Градиент этого скалярного поля определяется формулой

Найдем градиент в точке M(0, 0, 0):

.

Величина градиента .

Направление градиента определяется косинусами направляющих углов где

т.е.

.

ПРИМЕР Б. Наити дивергенцию векторного поля в точке A(1, -1, 3).

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР В. Найти ротор векторного поля в любой точке поля.

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР Г. Показать, что поля и (в сферических координатах) соленоидальны.

РЕШЕНИЕ:

1). Вычислим дивергенцию :

.

Следовательно, поле соленоидальное.

2). Вычислим дивергенцию :

Следовательно, поле соленоидальное.

ПРИМЕР Д. Дано поле . Требуется показать, что оно потенциальное и найти его потенциал.

РЕШЕНИЕ:

1). Вычислим ротор :

Следовательно, поле потенциальное.

2). Вычислим потенциал, приняв за начальную фиксированную

точку начало координат:

Имеем