ББК В 334.2 я73

Изучение магнитного поля соленоида

Методические указания

по выполнению лабораторной работы

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

УДК 537.811 (075.8)

ББК В 334.2 я73

Ш 122

Рецензент

Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры «Физика» Дальневосточного государственного
университета путей сообщения

В.В. Криштоп

Шабалина, Т.Н.

Ш 122 Изучение магнитного поля соленоида: метод. указания по выполнению лабораторной работы / Т.Н. Шабалина. – Хабаровск:
Изд-во ДВГУПС, 2008. – 16 с.: ил.

Методические указания выполнены в соответствии с профессиональной образовательной программой.

Цель указаний помочь студенту в выполнении лабораторной работы по курсу «Электродинамика».

Рассматриваются основные закономерности, характеризующие магнитное поле. Приводятся формулы, позволяющие найти магнитную индукцию магнитного поля различных токов.

Предназначены для студентов 1-го курса всех инженерно-технических специальностей и форм обучения, изучающих дисциплину «Физика».

Методические указания разработаны в рамках инновационно-образо­ва­тельной программы «Инновационный научно-образовательный комплекс на Дальнем Востоке России».

УДК 537.811 (075.8)

ББК В 334.2 я73

© ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный

университет путей сообщения (ДВГУПС), 2008

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей лабораторной работе «Изучение магнитного поля соленоида» рассматриваются основные закономерности магнитного поля тока соленоида. Дается практическое применение эффекта Холла. Приводится вывод формулы для нахождения магнитной индукции поля соленоида по датчику Холла.

В результате выполнения и защиты лабораторной работы студент должен:

– уметь рисовать линии напряженности и магнитной индукции поля соленоида, прямого и кругового токов;

– понимать в чем заключается эффект Холла;

– осмысленно понимать все физические величины, характеризующие магнитное поле и знать действие магнитного поля на движущиеся в нем заряды и токи.

Лабораторная работа выполняется в течение двух часов непосредственно в лаборатории физики. В работе предусмотрены задания по учебно-исследовательской работе (УИРС).

Лабораторная работа
ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА

Цель работы: исследование магнитного поля соленоида методом датчика Холла.

Приборы и принадлежности: установка с соленоидом и датчиком Холла, цифровой вольтметр.

1. ТеорЕТИЧЕСКая часть

1.1. Магнитное поле и его характеристики

В пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током (это явление впервые обнаружено датским физиком Х. Эрстедом (1777–1851 гг.)).

Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток.

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, однако отношение ( – максимальный вращающий момент) для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией

, (1.1)

где – вектор магнитного момента рамки с током ( – вектор магнитной индукции, количественная характеристика магнитного поля).

Для плоского контура с током

, (1.2)

где – площадь поверхности контура (рамки), – единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление совпадает, таким образом, с направлением положительной нормали, которое определятся по правилу буравчика: если движение рукоятки буравчика совместить с направлением тока в рамке, то поступательное движение буравчика укажет на направление .

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Так как магнитное поле является силовым, то его по аналогии с электрическим изображают с помощью линий магнитной индукции – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, рукоятка вращается в направлении линий магнитной индукции.

Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются не замкнутыми (начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных).

1.2. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение
к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774–1862) и Ф. Саваром (1791–1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током , элемент которого создает в некоторой точке (рис. 1) индукцию поля , записывается в виде:

, (1.3)

где – вектор, по модулю равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с током; – радиус-вектор, проведенный из элемента проводника в точку исследуемого поля, – модуль радиуса-вектора ; – магнитная постоянная (); – магнитная проницаемость среды, которая в воздухе и в вакууме равна единице. Направление перпендикулярно и , т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление враще­ния головки винта дает направление , если поступательное движение винта соответ­ствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора определяется выражением

, (1.4)

где – угол между векторами и .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

. (1.5)

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную сим­метрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

Магнитное поле прямого тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 2). В произвольной точке , удаленной от оси проводника на расстояние , векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве переменной интегрирования выберем угол (угол между векторами и ), выразив через него все остальные величины. Из рис. 2 следует:

(радиус дуги CD вследствие малости равен , и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (1.4), получим, что магнитная индук­ция, создаваемая одним элементом проводника, будет следующая

. (1.6)

Так как угол для всех элементов прямого тока бесконечно длинного изменяется в пределах от 0 до , согласно (1.5) и (1.6) получим:

.

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока бесконечной длины

. (1.7)

Если проводник конечной длины, то меняется от до (рис. 2) и тогда интегрируя (1.6), получим

. (1.8)

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение век­торов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору () и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно , то согласно (1.4):

.

Тогда

.

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током имеет вид:

.

1.3. Действие магнитного поля на движущийся заряд

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд , движущийся в магнитном поле со скоростью , называется силой Лоренца и выражается формулой

, (1.9)

где – индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора (для ), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд. На рис. 3 показана взаимная ориентация векторов , (поле направлено к нам, на рисунке показано точками) и для положи­тельного заряда. На отрицательный заряд сила действует в противоположном направ­лении. Модуль силы Лоренца:

,

где – угол между и .

Магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд.
В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды.

Так как по действию силы Лоренца можно найти модуль и направление вектора , то выражение для силы Лоренца может быть использовано (наравне с магнитным моментом рамки с током) для определения вектора магнитной индукции .

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией действует и электрическое поле с напряженностью , то результирующая сила , приложенная к заряду, равна векторной сумме сил, действующих со стороны электрического поля, и силы Лоренца:

.

Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость в этой формуле есть скорость заряда относительно магнитного поля.

1.4. Эффект Холла

Эффект Холла (1879) – возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью – , помещенном в магнитное поле , электрического поля в направлении, перпендикулярном и (или возникновение поперечной разности потенциалов в металле или полупроводнике с , помещенном в магнитное поле .

Поместим металлическую пластинку с током плотностью в магнитное поле , перпендикулярное (рис. 4). При данном направлении скорость носителей тока в металле – электронов – направлена справа налево. Электроны испытывают дейст­вие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего – их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электри­ческое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность этого попереч­ного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновеши­вать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

или ,

где – ширина пластинки; – поперечная (холловская) разность потенциалов; – заряд электрона.

Учитывая, что сила тока ( – площадь поперечного сечения пластинки толщиной , – концентрация электронов, – средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

, (1.10)

где , т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции , силе тока и обратно пропорциональна толщине пластинки . В формуле (1.10) – постоянная Холла, зависит от вещества. По измеренному значе­нию постоянной Холла можно:
1) определить концентрацию носителей тока в провод­нике (при известных характере проводимости и заряде носителей); 2) судить о природе проводимости полупроводников, так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда носителей тока. Эффект Холла применяется в измерительной технике (датчики Холла).

1.5. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора по заданно­му замкнутому контуру называется интеграл

,

где – вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; – составляющая вектора в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода); – угол между векторами и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром:

, (1.11)

где – число проводников с токами, охватываемых контуром произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Выражение (1.11) справедливо только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора на примере магнитного поля прямого тока , перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам. Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса . В каждой точке этого контура вектор одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора имеет вид:

.

Согласно выражению (1.11) получим (в вакууме), откуда

.

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока (сравните с (1.7)).

Сравнивая выражения для циркуляции векторов () и видим, что между ними существует принципиальное различие: циркуляция вектора электростати­ческого поля всегда равна нулю,
т. е. электростатическое поле является потенциаль­ным; циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю, т. е. магнитное поле является вихревым.

Теорема о циркуляции вектора имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара- Лапласа.

1.6. Магнитные поля соленоида

Соленоидом (катушкой) называют устройство, представляющее из себя большое количество витков, плотно прилегающих друг к другу и изготовленных из металла, намотанных на непроводящий каркас.

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной , имеющий N витков, по которому течет ток (рис. 5). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида показывает, что внутри такого соленоида поле является однородным, вне соленоида – неоднородным и очень слабым.

На рис. 5 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции выберем замкнутый прямоугольный кон­тур ABCDA, как показано на рис. 5. Циркуляция вектора по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все витков, согласно (1.11), имеет вид:

.

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции . На участке вне соленоида . На участке DA циркуляция вектора равна (контур совпадает с линией магнитной индукции), следовательно,

. (1.12)

Из (1.12) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

. (1.13)

Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми эффек­тами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают). Однако отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био-Савара-Лапласа; в результате получается та же формула (1.13). Для соленоида конечной длины на его оси имеем:

, (1.14)

где – угол между осью соленоида и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида.

2. Описание установки и метода изучения
магнитного поля соленоида

Соленоид представляет из себя большое число витков N проводника, навитых на непроводящий каркас. Если длина соленоида много больше диаметра его витка, то соленоид можно считать бесконечно длинным и его магнитное поле однородно, если же указанные параметры соизмеримы, то поле соленоида – неоднородно. Магнитное поле внутри соленоида возникает, если по нему идет ток. Характеристикой магнитного поля является магнитная индукция В, которая измеряется в теслах (Тл). Если в магнитное поле соленоида поместить датчик Холла, то можно изучить качественно и количественно магнитное поле соленоида, опираясь на эффект Холла.

Если по датчику Холла идет ток I, а возникающая разность потенциалов , то магнитная индукция исследуемого поля может быть найдена по формуле

, (2.1)

где Кл/м² – постоянная данного датчика.

Установка данной лабораторной работы включает:

– модуль ИП, при помощи которого питается соленоид, расположенный в блоке ФПЭ-04;

– датчик Холла находится внутри исследуемой катушки;

– вольтметр универсальный В7-21А (рис. 6).

Рис. 6. Установка

3. Порядок выполнения работы

1. Не трогая клеммы на блоках, за исключением одной клеммы «СЕТЬ» на модуле ИП – включить.

2. На задней панели вольтметра В7-21А – включить клемму «СЕТЬ».

3. Осторожно выдвинуть датчик Холла из соленоида (катушки) на 1 см.

4. При каждом фиксированном положении датчика – снимать показания напряжения () по вольтметру. Обратите внимание! на цифровое табло : – целые; – десятые; – сотые милли Вольта – 2, 15 мВ.

5. Провести измерения от длины датчика: 100¸ 0¸ 100 мм три раза; получить среднее значение напряжений на датчике, данные занести в табл. 1.

Таблица 1

Таблица измерений

, мм

, мВ

, мВ

, мВ

, мВ среднее

В, мТл

6. Выключить клеммы на ИП и вольтметре.

7. Используя формулу (2.1), вычислить значения магнитной индукции поля соленоида.

8. Построить график зависимости от , совместив 0 на датчике с 0 на системе координат:

4. Задание по учебно-исследовательской работе

1. Используя полученные данные в работе, и зная напряжение, подаваемое на соленоид (указано на схеме ФПЭ-04), посчитать число ампервитков катушки.

2. Используя данные полученного графика зависимости от и формулу (1.14), найдите и для исследуемого соленоида на его оси в точке, где начинается неоднородность магнитного поля.

Рис. 7. Координатные оси для построения графика

Контрольные вопросы

1. Как применить закон Био-Савара-Лапласа к расчету магнитных полей?

2. Что называется циркуляцией вектора магнитной индукции магнитного поля?

3. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции , сравните с теоремой о циркуляции напряженности электростатического поля .

4. В чем заключается эффект Холла?

5. Нарисуйте магнитное поле соленоида: короткого и очень длинного.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ Список

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т.И. Трофимова. – 7-е изд. – М.: Высш. шк., 2002. – С. 542.

2. Савельев, И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. – 4-е изд.
– М.: Наука, 2000. – Т. 1, 2, 3. – С. 432, 496, 904.

3. Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – С. 608.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................... 3

Лабораторная работа. ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА.................. 4

1. ТеорЕТИЧЕСКая часть................................................................................. 4

1.1. Магнитное поле и его характеристики......................................................... 4

1.2. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение
к расчету магнитного поля.......................................................................... 5

1.3. Действие магнитного поля на движущийся заряд....................................... 7

1.4. Эффект Холла............................................................................................. 9

1.5. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме.................................... 10

1.6. Магнитные поля соленоида....................................................................... 11

2. Описание установки и метода изучения
магнитного поля соленоида................................................................... 12

3. Порядок выполнения работы............................................................... 13

4. Задание по учебно-исследовательской работе............................. 14

Контрольные вопросы................................................................................... 15

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ Список.......................................................................... 15

Учебное издание

Шабалина Тамара Николаевна