Волновые функции атома водорода и распределение электронной плотности

Рассмотрим детальнее квантовые состояния и соответствующие собственные волновые функции :

. (2.76)

Нормированные волновые функции для некоторых состояний водородоподобных атомов (для водорода ) приведены в табл.2.1.

Квадрат абсолютного значения представляет вероятность того, что при определении положения электрона в квантовом состоянии он будет найден в некотором объеме возле точки с координатами (рис. 2.2):

. (2.77)

Обозначив через элемент телесного угла и используя формулы (2.3) и (2.55), запишем вероятность в виде

. (2.78)

Интегрируя по всем углам , мы получим вероятность найти электрон между двумя сферами с радиусами и . Обозначим эту вероятность через

. (2.79)

Таблица 2.1

n	l	m	Нормируемая	Состояние
				1s
				2s
				2p
±1
				3s
				3p
±1
				3d
±1
±2

На рис. 2.3 приведено распределение плотности вероятности для различных состояний в зависимости от расстояния до центра. Числа на кривых определяют значение чисел . Из графиков можно видеть, что радиальное квантовое число определяет число узлов волновой функции .

Выясним теперь значение введенной выше длины . Для основного квантового состояния () имеем

. (2.80)

Следовательно,

. (2.81)

Рис.2.2. Сферические координаты

Плотность вероятности
Нормируемый радиус q=r/a
Рис.2.3. Распределение плотности вероятности для разных состояний атома водорода

Максимальное значение этой вероятности имеет место при . Отсюда следует, что в состоянии наиболее вероятно найти электрон при

м. (2.82)

Это есть радиус первой орбиты Бора, величина которого впервые была получена Н.Бором из старой теории квантования.

Рассмотрим теперь распределение по углам. Если интегрировать по от 0 до , то получим вероятность того, что электрон находится в телесном угле вокруг луча . Воспользовавшись нормировкой (2.10) для , получим

. (2.83)

Из вида функции (2.20) следует, что вероятность не зависит от угла и равняется

. (2.84)

Следовательно, распределение по углам имеет сферическую симметрию. На рис.2.4 приведены полярные диаграммы плотности вероятности для различных состояний . Величина откладывается по радиус-вектору. При , вероятность

(2.85)

не зависит от угла , и поэтому мы имеем сферическую симметрию. Состояние, в котором момент импульса равняется нулю (), называют s-состоянием, соответствующий терм называют s-термом. Это состояние характеризуется сферической симметрией.

Состояние с () называют p- состоянием, а соответствующий терм – p-термом. Вероятность в этом случае определяется функциями и . Воспользовавшись (2.16) и (2.17), получим из (2.84)

, (2.86)

. (2.87)

Состояние с () называют d- состоянием, а соответствующий терм – d-термом. Как и в предыдущем случае получим

. (2.88)

Вид распределения вероятностей (рис.2.4) позволяет нам получить некоторое представление о форме атома в различных состояниях. Эта форма определяется значением орбитального числа , а магнитное число определяет ориентацию атома в пространстве.

Рис.2.4. Угловое распределение электронов для s-, p- и d-состояний.