Пример решения задачи. Составим матрицу А- λЕ = и перейдем в соотношении ( А - λ·Е )· Х = 0 к покоординатному равенству

А =

Составим матрицу А- λ Е = и перейдем в соотношении (А - λ ·Е)· Х = 0 к покоординатному равенству

(3)

где координаты собственного вектора Х.

Составим характеристическое уравнение матрицы А для нахождения собственных значений:

det (A – λ E) = 0 или .

Имеем det (A – λ E) = (4-λ)

=- . Характеристическое уравнение - имеет действительные корни

Найдем собственный вектор , отвечающий собственному значению

для чего это значение λ = 0 подставим в однородную систему (3)

При определитель этой системы равен нулю, поэтому однородная система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Найдем их методом Гаусса

4С₂ – 5С₁→ С₂^/ С₃-С₂→ С₃^/

2С₃ - 3С₁ → С₃^/

Получим равносильную систему трапецеидального вида:

или

Положим х₃ = 3t, тогда х₂= 2 t, х₁= t, получим собственный вектор

, где t .

Рассуждая аналогично, получим при

Найдем ненулевые решения этой системы

С₃: 3→ С₁^/ 2С₂-5С₁→ С₂^/ С₃-С₂→ С₃^/

С₁→ С₃^/ 2С₃-3С₁→ С₃^/

Имеем однородную систему откуда следует

2х₁ = 3х₂-х₃=3х₃-х₃=2х₃ или Положим получим собственный вектор , где s .

Ответ:

, где t ;

, , где s .