I семестр. 1. Понятие множества. Операции над множествами

1. Понятие множества. Операции над множествами. Логическая символика.

2. Множество действительных чисел. Свойства действительных чисел. Представление действительных чисел десятичными дробями.

3. Мощность множества. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел.

4. Расширенная числовая прямая. Абсолютная величина числа. Множества на прямой, окрестности.

5. Метод математической индукции. Бином Ньютона.

6. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Грани числовых множеств. Теорема существования верхней (нижней) грани числового множества.

7. Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков.

8. Общее понятие функции (отображения). Композиция функций. Обратная функция. Числовые функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

9. Способы задания функций. Неявный способ задания функции. Функции, заданные параметрическими уравнениями и уравнениями в полярных координатах.

10. Определение последовательности и её предела. Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.

11. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

12. Свойства сходящейся последовательности, связанные с неравенствами.

13. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.

14. Принцип сходимости монотонной последовательности.

15. Принцип стягивающихся отрезков. Число е.

16. Подпоследовательности и частичные пределы числовой последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

17. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.

18. Определение предела функции в точке. Определение предела по Коши и по Гейне, эквивалентность определений. Предел функции на бесконечности.

19. Бесконечно малые функции, их свойства.

20. Бесконечно большие функции. Общее определение предела функции.

21. Общие свойства предела функции: единственность, локальная ограниченность.

22. Свойства предела функции, связанные с арифметическими операциями.

23. Свойства предела функции, связанные с неравенствами.

24. Предел композиции функций.

25. Односторонние пределы. Предел монотонной функции.

26. Сравнение функций, эквивалентные функции. Критерий эквивалентности функций.

27. Определение непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

28. Свойства функций, непрерывных в точке (локальная ограниченность, устойчивость знака, непрерывность суммы, произведения и частного функций). Непрерывность основных элементарных функций.

29. Непрерывность сложной функции. Непрерывность функции

30. Теорема Больцано-Коши (о промежуточном значении непрерывной на сегменте функции). Следствие теоремы.

31. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на сегменте функции).

32. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на сегменте функции экстремальных значений).

33. Первый замечательный предел и его следствия.

34. Второй замечательный предел.

35. Следствия второго замечательного предела

36. Теорема существования и непрерывности обратной функции. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора. Критерий Коши существования конечного предела функции.

37. Условие дифференцируемости функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

38. Производная функции. Односторонние и бесконечные производные.

39. Связь между существованием производной и дифференцируемостью функции.

40. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций.

41. Таблица производных основных элементарных функций (вывод формул).

42. Уравнения касательной и нормали к кривой. Скорость прямолинейного движения.

43. Понятие дифференциала. Его геометрический и физический смысл.

44. Производная обратной функции, функции, заданной неявно и параметрически.

45. Производная сложной функции. Инвариантность формы I дифференциала.

46. Производные и дифференциалы высших порядков; n- ые производные функций: , .

47. Дифференциалы высших порядков от сложных функций. «Нарушение» инвариантной формы дифференциалов высших порядков при нелинейной замене переменной

48. Теорема Ферма, её геометрический смысл.

49. Теорема Лагранжа, Ролля, их геометрический смысл.

50. Теорема Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида и

51. Раскрытия неопределенностей видов

52. Формула Тейлора функции с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа.

53. Разложение по формуле Маклорена функций , .

54. Условия постоянства и монотонности функции.

55. Локальный экстремум функции. Необходимое и достаточные условия экстремума.

56. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.

57. Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия точек перегиба.

58. Экстремальные значения функции на отрезке. Асимптоты графика. Полная схема исследования функции и построение ее графика.

59. Понятие первообразной, ее свойства.

60. Определение неопределенного интеграла, основные свойства.

61. Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций.

62. Метод замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

63. Простые дроби и их интегрирование. Разложение рациональной функции на простые дроби. Интегрирование рациональных функций.

64. Интегрирование иррациональных функций.

65. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

66. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.

67. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Геометрический смысл определенного интеграла.

68. Мера Жордана. Измеримые множества на плоскости. Суммы Дарбу и их свойства.

69. Критерий интегрируемости по Риману. Классы интегрируемых функций.

70. Свойства определённого интеграла, выраженные равенствами.

71. Свойства определённого интеграла, выраженные неравенствами. Теорема о среднем значении.

72. Приближенное вычисление определенных интегралов.

73. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

74. Метод замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

75. Понятие длины дуги кривой. Выражение длины дуги интегралом.

76. Понятие площади плоской фигуры. Выражение площади интегралом.

77. Понятие объема пространственной области. Вычисление объема тела с помощью поперечных сечений. Объем тела вращения. Вычисление площадей поверхностей вращения.

78. Приложение определенного интеграла к задачам физики.

79. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неограниченных функций. Свойства и вычисление.

80. Признаки сходимости несобственных интегралов.