Предел последовательности.

Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу

Определения и формулировки теорем.

1. Понятие множества. Операции над множествами. Логическая символика.

2. Множество действительных чисел. Свойства действительных чисел. Представление действительных чисел десятичными дробями.

3. Мощность множества. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел.

4. Расширенная числовая прямая. Абсолютная величина числа. Множества на прямой, окрестности.

5. Метод математической индукции. Бином Ньютона.

6. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Грани числовых множеств. Теорема существования верхней (нижней) грани числового множества.

7. Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков.

8. Общее понятие функции (отображения). Композиция функций. Обратная функция. Числовые функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

9. Способы задания функций. Неявный способ задания функции. Функции, заданные параметрическими уравнениями и уравнениями в полярных координатах.

10. Определение последовательности и её предела. Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.

11. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

12. Свойства сходящейся последовательности, связанные с неравенствами.

13. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.

14. Принцип сходимости монотонной последовательности.

15. Принцип стягивающихся отрезков.Число е.

16. Подпоследовательности и частичные пределы числовой последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

17. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.

18. Определение предела функции в точке. Определение предела по Коши и по Гейне, эквивалентность определений. Предел функции на бесконечности.

19. Бесконечно малые функции, их свойства.

20. Бесконечно большие функции. Общее определение предела функции.

21. Свойства предела функции: единственность, локальная ограниченность,

22. Свойства предела функции, связанные с арифметическими операциями.

23. Свойства предела функции, связанные с неравенствами.

24. Предел композиции функций.

25. Односторонние пределы. Предел монотонной функции.

26. Сравнение функций, эквивалентные функции. Критерий эквивалентности функций.

27. Определение непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

28. Свойства функций, непрерывных в точке (локальная ограниченность, устойчивость знака, непрерывность суммы, произведения и частного функций). Непрерывность основных элементарных функций.

29. Непрерывность сложной функции. Непрерывность функции

30. Теорема Больцано-Коши (о промежуточном значении непрерывной на сегменте функции). Следствие теоремы.

31. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на сегменте функции).

32. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на сегменте функции экстремальных значений).

33. Первый замечательный предел и его следствия.

34. Второй замечательный предел.

35. Следствия второго замечательного предела

36. Теорема существования и непрерывности обратной функции.

37. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора. Критерий Коши существования конечного предела функции.

38. Условие дифференцируемости функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

39. Производная функции. Односторонние и бесконечные производные.

40. Связь между существованием производной и дифференцируемостью функции.

41. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций.

42. Теорема о производной обратной функции. Производная функции и обратных тригонометрических функций (вывод формул).

43. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями.

44. Таблица производных основных элементарных функций.

45. Уравнения касательной и нормали к кривой. Скорость прямолинейного движения.

46. Понятие дифференциала. Его геометрический и физический смысл.

47. Производная обратной функции, функции, заданной неявно и параметрически. Производные функции обратных тригонометрических функций.

48. Производная сложной функции. Инвариантность формы I дифференциала.

49. Производные высших порядков; n- ые производные функций: , .

50. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалы высших порядков от сложных функций.

51. Теорема Ферма, её геометрический смысл.

52. Теорема Лагранжа, Ролля, их геометрический смысл.

53. Теорема Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей типа

54. Формула Тейлора функции с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа.

55. Разложение по формуле Маклорена функций , .

56. Условия постоянства и монотонности функции.

57. Локальный экстремум функции. Необходимое и достаточные условия экстремума.

58. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.

59. Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия точек перегиба.

60. Экстремальные значения функции на отрезке. Асимптоты графика.

Доказательство утверждений

Введение в анализ

1. Теорема существования верхней (нижней) грани числового множества.

2. Принцип Архимеда.

Предел последовательности.

3. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

4. Теоремы о сходящихся последовательностях, связанные с неравенствами и арифметическими операциями.

5. Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших последовательностях.

6. Принцип сходимости монотонной последовательности.

7. Число «е».

8. Критерий Коши сходимости последовательности.

Предел функции.

9. Теорема об эквивалентности определений функции в точке по Коши и по Гейне.

10. Теорема о единственности предела функции.

11. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.

12. Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.

13. Теорема о пределе композиции функций.

14. Теоремы о пределах функции, связанные с арифметическими операциями.

15. Теоремы о пределах функции, связанные с неравенствами.

16. Первый замечательный предел и его следствия.

17. Второй замечательный предел. Следствия второго замечательного предела.

18. Теоремы об эквивалентных функциях.

Непрерывность функции.

19. Теорема о непрерывности композиции функций.

20. Теорема о непрерывности монотонной функции.

21. Теорема существования и непрерывности обратной функции.

22. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной на сегменте функции.

23. Теоремы Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на сегменте функции и о достижении экстремальных значений).

Дифференцирование функций одной переменной

24. Необходимое условие дифференцируемости функции.

25. Теорема о связи между существованием конечной производной и дифференцируемостью функции.

26. Теоремы о дифференцировании суммы, произведения и частного функций, обратной функции, функции, заданной параметрическими уравнениями.

27. Теорема о производной композиции функций.

28. Инвариантность формы I дифференциала.

29. «Нарушение» инвариантной формы дифференциалов высших порядков при нелинейной замене переменной.

30. Теорема Ферма, её геометрический смысл.

31. Теоремы Лагранжа, Ролля, их геометрический смысл.

32. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей типа и

33. Формула Тейлора функции с остаточным членом в форме Пеано.

34. Условия постоянства и монотонности функций.

35. Необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.

36. Достаточные условия локального экстремума функции.

37. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.

38. Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия точек перегиба.

Вопросы к экзамену по математическому анализу